宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学(理科)试卷答案

银川一中2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案1．【答案】C由,解得，又因为，所以，又由，可得，解得，所以，所以，2．由z1+i=1−1i=1+i，得z=1+i2=2i，则z=−2i，所以z=2.故选：C.3．A4．【答案】C【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝eq\f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．5.【答案】B【解析】对于A，若，则有，所以，A错误；对于B，若，则有，所以，B正确；对于C，，所以，解得或，C错误；若与的夹角为钝角，则，即，且与不能共线且反向，由A选项可知，当时，，此时与共线且反向，所以若与的夹角为钝角，则且，D错误，故选:B.6．【答案】A【详解】由点在单位圆上，则，解得，由锐角，即，则，故，.故选A.7.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），在上的最大值为，与图象不符，A错误；对于B，当时，，与图象不符，B错误；对于C，，当时，；又过点；由得：，解得：，即函数定义域为；又，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：与图象相符，C正确；对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.故选：C.8.【答案】B【详解】由题意，点且满足，根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，其中，可得，则，可得双曲线的渐近线方程为，又因为点满足方程，即，结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.故选：B.9.【答案】A解：“，，”，取，则，为等比数列．反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足．数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件．10.【答案】D设切点．因为，所以，所以点处的切线方程为，又因为切线经过点，所以，即.令，则与有且仅有1个交点，，当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，则，即．综上，或．故选：D11.【答案】B12.【答案】C对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径为，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.【详解】对于A故A错误，截面示意图如下：对于B，由对称性知,勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心,如图：正外接圆半径,正四面体的高,令正四面体的外接球半径为,在中,，解得,此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：图中取正四面体中心为,连接交平面于点，交于点，其中与共面，其中即为正四面体外接球半径，设勒洛四面体内切球半径为，则由图得，故B错误；对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对A的分析知，故C正确；对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，故D错误.故选：C．13.π314.54由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有种，由分步乘法计数原理可知共有种，故答案为：.15.【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则又两式相减得，则.设圆心为C（5，0），则kOM=，因为直线l与圆相切，所以，解得，代入得16．先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为，其中，，由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，所以，即，所以，故选：C.（1），，且，数列是以每一项均为的常数列，则，即；（2）由（1）得，，.18.（1）证明：菱形中，，设，交于点，连接，，则，，又，平面，平面，所以平面；又平面，所以；（2）因为菱形边长为，，所以，则，又，所以，则，所以；在中，，，则，所以，所以；设点到平面的距离为，由题意，即，则.19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，，，，所以随机变量的分布列为：1.53.55.50.150.450.4所以，，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i）由得，，令，，，则，由表中数据可得，，则，所以，，即，因为，所以，故所求的回归方程为；（ii）设年收益为万元，则，设，，则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以，当，即时，有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.20.【小问1详解】因为的焦点坐标为，所以，所以．因为，所以，化简可得，又，解得，所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】由（1）可知，可知过点的直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由，化简可得，设，则，，由，解得．根据弦长公式可得．因为的面积为的面积为，设点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，所以，因此，因为，所以，则，从而，所以的取值范围是．21．【解析】（1）由有两个零点，得方程有两个解，设，则，由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，所以的最大值为，当时，当时，，所以可得函数的大致图象，所以，解得，所以，有两个零点时，的取值范围是；设，即，则恒成立，由，，可得，下面证明当时，，即证，令，则证，，令为开口向上的二次函数，对称轴为，由（1）可知，故在时单调递增，则，下面只需证明即可，即证，令，则，令，则，所以函数单调递减，且，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，从而不等式得证，综上，的取值范围是．22.【答案】解：(1)依题意，曲线C1:x−22+y2=4，即x2+y2−4x=0,故ρ2−4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ,因为ρ2=41+3sin2α，故ρ2+3ρ2sin2α=4.即x2+4y2=4，即x24+y2=1.将θ=θ0代入ρ2=41+3sin2α得，ρQ2=41+3sin2θ0.将θ=θ0代入ρ=4cosθ得，ρP=4cosθ0.由|OQ|=|PQ|，得ρP=2ρQ，即4cosθ02=161+3sin2θ0.解得sin2θ0=23，则cos2θ0=13又0<θ0<π2，故ρQ=41+3sin2θ0=233，ρP=4cosθ0=433故△PMQ的面积S△PMQ=S△OMP−S△OMQ=12⋅|OM|⋅(ρP−ρQ)⋅sinθ0=12⋅233⋅63=23.23.【详解】（1），，当且仅当时取等号，，要证，只要证，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，．（2）由基本不等式得，以上三式当且仅当时同时取等号，将以上三式相加得，即．公众号：高中试卷君