解决排列组合问题的常用方法总结学生版

解决排列组合问题的常用方法总结一、知识归纳1.两个计数原理（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；（2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.2.排列及排列数知识点1排列的定义排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.知识点2排列数1.排列数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出个元素的排列数用符号m表示m,An.排列数公式m*并且从形式上看排列数2.:Ann(n1)(n2)(nm1),m,nN,mn.m等于从开始的个连续自然数相乘Annm.3.全排列:特别地,n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.n!4.n的阶乘:正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.规定:0!1,Amn(nm)!3.组合及组合数知识点1.组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点2.组合数、组合数公式1.组合数定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的组合数，用符号m表示mCn.1Amn(n1)(n2)L(nm1)n!Cmn，其中m,nN，nm2.组合数公式：Amm!m!(nm)!且mn规定：0Cn13.排列与组合的关系相同两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序不同（关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合点问题）4.组合数的性质性质：mnm；性质：mmm11CnCn2Cn1CnCn.二、题型方法归纳题型一：捆绑法（相邻问题，用捆绑法，注意内部存在一定的顺序）1．4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（）A．48B．96C．120D．2402．要为5位同学和2位老师拍照留念，要求排成一排，且2位老师相邻，不同的排法有______种.3．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（）A．288B．144C．72D．362【方法小结】捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉题型二、插空法（不相邻问题用插空法，先排列不受限的事物，再插孔不相邻的事物）1．五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（）A．12种B．48种C．72种D．120种．2.一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（）A．120种B．60种C．40种D．20种3．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．4．夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有种.5．有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（）A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种3C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．6．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为__________．【方法小结】插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量.题型三、特殊元素（位置）法（限制条件下，优先考虑并满足有限制的事物，然后再考虑不受限的事物）1．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（）A．6种B．12种C．36种D．48种2．从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有（）A．120种B．150种C．180种D．210种3．某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加A,B,C,D这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加A项目，则不同的报名方法种数有（）A．18B．21C．23D．724．某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（）4A．96种B．84种C．72种D．60种5.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种6．要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（）A．24B．72C．144D．2887．从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A，B，C，D的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法数是（）A．24B．48C．54D．968.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有_____种参赛方案.【方法小结】所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时，对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。题型四、间接法（正难则反）1．某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（）种．A．16B．20C．96D．12052．（多选）4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）35A．若女生必须站在一起，那么一共有A3A5种排法34B．若女生互不相邻，那么一共有A3A4种排法16C．若甲不站最中间，那么一共有C6A6种排法76D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有A72A6种排法3．从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.4．某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有种.题型五、重排问题求幂策略（解决可重复问题）1．有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（）A．243B．125C．60D．1202．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，有种不同的冠军获得情况.题型六、组合问题1．从6名男医生，5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生，则不同的选法共有（）A．130种B．140种C．145种D．155种2．某校计划选拔4名学生参加科技创新大赛.现从3名女生、5名男生中进行选择，要求队伍中至少包含男、女生各1名，则不同选法的总数为（）6A．65B．60C．35D．303．某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）A．13种B．14种C．15种D．16种4．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【方法小结】组合问题的两类常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.2.有限制条件的组合问题的解题思路从限制条件入手.组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简单.常见情况有：（1）某些元素必选；（2）某些元素不选；（3）把元素分组，根据在各组中分别选多少分类.题型七、分组分配问题1.平均分组问题1．导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（）A．90B．15C．60D．18072．为提升教育教学质量，促进各分校区发展，西南大学附属中学开展本部一分校区联合教研.现计划从本部派出7男2女共9名老师到A、B、C三个分校区开展教研，每个校区三人，则有（）种安排方案.A．1050B．1680C．2940D．33602.不平均分组问题3．将6名实习教师分配到5所学校进行培训，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A．600种B．900种C．1800种D．3600种4．中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舲中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（）A．72种B．90种C．360种D．540种5．现有高校进入高中校园组织招生宣传，4名男生、3名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是（）A．42B．60C．84D．1206．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（）种A．25B．60C．90D．15087．20