山西省运城市2024届高三第二次模拟调研测试数学试题（A）

运城市2024年高三第二次模拟调研测试数学试卷类型：A考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.3.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的左焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（）A. B.C. D.5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有（）A.360种 B.316种 C.288种 D.216种7.已知等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知正方形的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则最小值为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下：甲（单位：kg）250240240200270乙（单位：kg）250210280240220则下列说法正确的是（）A.甲种水稻产量的极差为70B.乙种水稻产量的中位数为240C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差10.已知函数的定义域为，且对任意的，都有，若，则下列说法正确的是（）A. B.的图象关于y轴对称C. D.11.如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一点，点是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.当点是线段的中点时，存在点，使得平面B.当点为线段的中点时，过点A，，的平面截该正方体所得的截面的面积为C.点到直线的距离的最小值为D.当点为棱的中点且时，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合，，若，则的子集的个数为__________.13.已知，，则__________.14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，且，若的面积为，其中O为坐标原点，则的值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求的值；（2）如图，，点D为边上一点，且，，求的面积.16.（本小题满分15分）长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下2×2列联表：喜欢不喜欢合计男生12080200女生100100200合计220180400（1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联?（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.（本小题满分15分）如图1，在中，，，点是线段的中点，点E是线段上的一点，且，将沿翻折到的位置，使得，连接，，如图2所示，点是线段上的一点.图1图2（1）若，求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.18.（本小题满分17分）已知抛物线：的准线与圆：相切.（1）求的方程；（2）设点P是上的一点，点A，B是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.①若，求点P的横坐标；②求面积的最小值.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；（3）若数列满足且，记数列的前项和为，求证：.运城市2024年高三第二次模拟调研测试·数学参考答案、提示及评分细则1.A因为复数满足，所以，所以.故选A.2.B设圆锥的底面半径为，母线长为，则，，解得，，所以此圆锥的高，所以此圆锥的体积.故选B.3.A因为，所以，又，，所以，解得，设与的夹角为，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选A.4.D双曲线的一条渐近线方程为，所以.圆：的标准方程为，所以圆心为，，所以，又，解得，，所以双曲线的方程为.故选D5.C将函数的图象向右平移个单位长度，得到，所以，当时，，又函数在区间上恰有两个零点，所以，解得，即的取值范围是.故选C.6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有种.若小张、小胡、小李、小郭这四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，则报名情况有种.所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.7.B由题意知，所以，又，所以，所以.设等差数列的公差为，则，所以.所以所以，所以，即的取值范围是.故选B.8.D以A为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.设，所以，又，，，所以，令，即，所以直线与圆有公共点，所以，解得，所以.故选D.9.ABD由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270-200=70，故A正确；由表中数据可知，乙种水稻产量从小到大排列为210，220，240，250，280，所以乙种水稻产量的中位数为240，故B正确；对于C，甲种水稻产量的平均数为，乙种水稻产量的平均数为，所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C错误；甲种水稻产量的方差为，乙种水稻产量的方差为，所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.故选ABD.10.AC令，，得，解得，故A正确；令，，所以，解得，令，所以，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故B错误；因为，令，则，所以，令，则，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，令，则，所以，所以，所以，故C正确，D错误.故选AC.11.ACD以为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则，，，，当点是线段的中点时，，设，所以，，，假设存在点，使得平面，则，，解得，所以存在点，使得平面，此时点E与点C重合，故A正确；取的中点F，连接，，，，，如图所示.则，，所以，又易得，，，所以梯形的面积为，所以过A，E，点的平面截该正方体所得的截面的面积为，故B错误；又，设，所以，，所以点到直线的距离，所以，此时，所以点E到直线的距离的最小值为，故C正确；取的中点G，连接，，，易得平面，又平面，所以，所以，则点在侧面内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，分别交，于，，则，则，所以点P的轨迹长度为，故D正确.故选ACD.12.8由题意知，又，所以，所以，解得，所以，所以，所以的子集的个数为.13.因为，即，所以，因为，所以，解得，，所以.14.因为的面积为，所以，在中，设，，由余弦定理可得，即，则，所以的面积，所以，即，由于，所以.又，所以是等边三角形，即，由椭圆的定义可得，所以，则，，所以，则.15.解：（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，又，，所以，，所以.（2）设，又，所以，.在中，由余弦定理得，解得，所以，，又，所以，，又，所以，所以的面积.16.解：（1）零假设为：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050.（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为：人，女生人数为：人.的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，的分布列为：0123（3）由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率，所以，所以.17.（1）证明：过点作，垂足为，在上取一点，使得1，连接，，如图所示.因为，，所以且，因为是的中点，且，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，.又，所以，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以，，，.设平面的一个法向量，又，，所以令，解得，，所以平面的一个法向量.设，所以，设直线与平面所成角的大小为，所以，解得或，所以或.18.解：（1）由题意知的准线为，又的准线与圆：相切，所以，解得，所以的方程为.（2）设点，点，点，直线方程为，化简得.又圆是的内切圆，所以圆心到直线的距离为1，即，故，易知，上式化简得，，同理有，所以m，n是关于t的方程的两个不同的根，所以，.所以，又点是上的一点，所以，所以.①若，则，解得或（舍），所以点P的横坐标为3.②因为点到直线的距离，所以的面积，令，则，因为，，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最小值为.19.（1）解：若，则，所以，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即.（2）解：，令，所以，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，符合题意；当，即时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，又，，所以存在，使得，所以当时，，所以在上单调递减，所以，不符合题意.综上，的取值范围是.（3）证明：因为，所以，即，所以是公差为的等差数列，又，所以，所以.由（2）知当时，，所以当，时，，即.所以，所以，又，所以.