天域全国名校协作体2023-2024学年高三下学期4联考数学答案

绝密★考试结束前2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DACABBDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ACDBCAB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.2512．45（或）13．−14．(0,5)45四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．解：（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：ABABC(0,3,0−−,1,0,0)(,0,3,4),1,0,2111(,0,3,1),()()因此ABA11==−=−BAC11(1,13,2),1,3,(2,0,23,)3,()..................................3分由AB1=A1B10得AB1⊥A1B1.由ABAC111=0得AB1⊥AC11.AB11111ACA11=AB11111,,ACABC平面所以AB1⊥平面ABC111......................................................................................6分（2）设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由（Ⅰ）可知AC11=(0,23,1,)AB=(1,3,0,)BB=(0,0,2,)高三数学学科参考答案第1页(共7页){#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}设平面ABB1的法向量nx=yz(,,).nA=B0,xy+=30,由即可取n=−(3,1,0),................................................10分nB=B10,20z,=ACn139所以sin|cos,|===ACn1.ACn11339因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．............................13分1316．（1）由题意可知aaa123======(2)1,(4)2,(8)4，……………4分由题意可知，偶数与2n不互素，所有奇数与与互素，nn−1所以an==(2)2；.………6分221nn−（2）由（1）知，所以a2n==(2)2，所以21n−.....……8分nnnnlog22anlog2221bnnn=(−=1)(−=1)(−−=−−1)(21)(42)()21nn−a2n244Sbbbnn=+++121111所以Snn=2()6−+()(46)121−++−()(42)−+−()−nn−①n444411111(−)S=−2()6(2+−)3++(4n−−6)()(4nn+n−−2)()+1②.....……10分4n4444所以①-②得11[1−−()]n−15111111Sn=−2()1+−4[()2++−()](4nn−−−2)()+1=−+4(42)−−164()−nn+1n144444241−−()411113206n+=−+[1−(−)nn−+11]−(4n−2)(−)=−−，…………………………13分2544105(4)−n+16206n+所以S=−+.…………………………15分n2525(4)−nbb17.（1）设双曲线C的两渐近线方程分别为y=x,y=−x，aaab226点P(3,2)到双曲线两渐近线的距离乘积为=，c25高三数学学科参考答案第2页(共7页){#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}a22+=bc2ab226由题意可得：2=，...................………....…………………3分c594−=1a22b解得ab22==3,2，xy22则双曲线C的方程为−=1；............................................................................................5分32（2）设直线l1的方程为yk=+x(5)，1由ll,互相垂直得l的方程yx=−+(5)，..............................................................................6分122kykx=+(5)联立方程得x22y−=132消y得(2160−−35kxk2222)xk−65−=，0成立，xx+352kk25所以xyk===+=x12,(5)，MMM22323−−kk223525kk2所以点M坐标为（,），.............................................................................................8分2323−−kk221yx=−+(5)kxx+35125−k联立方程得，所以xyx===34−+=,(5)，x22yNNN22323kkk22−−−=1323525−k所以点N坐标为（,），..............................................................................................10分2323kk22−−根据对称性判断知定点在x轴上，yy−NM（）直线MN的方程为yyxx−=−MM，...............................................................................12分xxNM−则当y=0时，35kkk2−253525−2xy−xy2222301+kx====MNNM−2−−−3k2kkk−3232335，.................................14分y−−yk−−25kk252512NM−2kk22−−323所以定点坐标为(−35,0)..........................................................................................................15分18.（1）由题意知f(x)定义域（0，+）当m=5时，高三数学学科参考答案第3页(共7页){#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}−4x3+5x−1，−4x3+5x−1lnxf(x)=3lnx，−4x+5x−1lnx-------------------------------------1分令g(x)=−4x3+5x−15g'(x)=−12x2+500x1255g(x)在（0，）单调递增，（，+）单调递减，且g(1)=01212令在（）单调递增，而（）h(x)=lnx0+f(1)=0=h11311又ghg(),==()ln1,(0)1−=−而4164411所以当0()(xg),1xh时xxg,，(xh)0(x)当时44----------------------------------------------4分所以当时，当时，0x1f(x)=g(x),x1f(x)=h(x)−4x3+5x−1，0x1所以f(x)=lnx，x155所以f(x)在(0，)和(1,+)单调递增，(，1)单调递减1212'23（i）当0x1时，f(x)=−12x+5,设切点M(x0,−4x0+5x0−1)23则此切线方程为y=(−12x0+5)(x−x0)−4x0+5x0−1又此切线过原点，1所以0=(−12x2+5)(0−x)−4x3+5x−1，解得x=000002即此时切线方程是2x−y=0------------------------------------------6分高三数学学科参考答案第4页(共7页){#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}1（ii）当x1时，f(x)=lnx所以f'(x)=x1设切点为(x0,lnx0),此时切线方程y=(x−x0)+lnx0,x01又此切线过原点，所以0=(0−x0)+lnx0解得x0=ex0所以此时切线方程x−ey=0综上所述，所求切线方程是：x−ey=0或2x−y=0----------------------------------8分（2）（i）当m5时55由（1）知，f(x)在(0，)和(1,)单调递增，(，1)单调递减，121213-----------------------11分且f(0）1，f(）0,f(1）0416此时f(x)有两个零点(ii)当m5时，当0x1时，−4x3+5x−1−4x3+mx−155由（1）知：g(x)=−4x3+5x−1在（0，）递增，（，1）递减,且g(1)=012125所以x（，+）时，f(x)0,而f(0)=−11255所以f(x)在（0，）只有一个零点，（，+）没有零点1212----------------------------------13分（iii）当0m5时，m5y=−4x3+mx−1此时y=−12x2+m0得0x1212由(1)知当x1时，f(x)=lnx只有一个零点x=1,要保证f(x)只有一个零点，只需要当0x1时,f(x)=−4x3+mx−1没有零点mm3mm3mf()=−4()+m()−1=−101212129,得0m3m0112高三数学学科参考答案第5页(共7页){#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}---------------------------------------15分（iv）当m0时，当x(0,+)时，3g(x)=−4x+mx−10,此时f(x)只有一个零点x=1综上，只有一个零点时，＜或fxmm()35-----------------------------------------17分19.（1）记甲获胜为事件A，甲抢到3道题为事件A3,甲抢到2道题为事件A2,甲抢到1道题为事件A1,甲抢到0道题为事件A0，............................................................................................................1分11则PA()(),==332813PAC()(),==2323281311PACPA()(),()()====133，...............................................................................................3分13028281111而PAAC(|)()()()=+−=3221，33222211117P(|)()()()AAC=+−−=2111，22222312122211222PAA(|)()()=++−=21，123333233321220P(|)()()AAC=+=312，...............