湖北省高中名校联盟2024届高三第四次联合测评数学试卷

湖北省高中名校联盟2024届高三第四次联合测评数学试卷本试卷共4页,19题。满分150分。考试用时120分钟。考试时间:2024年5月10日下午15:00一17:00一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足,则z=2.已知集合,集合B满足B⫋A,则B可以为A.[-1,3]B.(-∞,-1]C.(-∞,-1)D.(-∞,-3)3.某校举行“云翔杯”学生篮球比赛,统计部分班级的得分数据如下。班级12345678得分2834343026282832A.得分的中位数为28B.得分的极差为8C.得分的众数为34D.得分的平均数为314.已知m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则A.若a//β,m//α,n//β,则m//nB.若a//β,m⊥α,n//β,则m//nC.若a⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥nD.若a⊥β,m//a,n//β,则m⊥n5.在△ABC中,若AC2+BC2=5AB2,则A.B.C.D.6.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1+a2+a3+a4+a5+a6=10,a1a2a3a4a5a6=8，则A.2B.3C.4D.57.过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l1、l2，其中l1与C交于M、N两点，l2与C交于P、Q两点，则A.1B.2C.3D.48.若，，则实数的最大值为A.1B.0C.D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分9.已知双曲线E:(a>0)过点P(4,),则A.双曲线E的实轴长为4B.双曲线E的离心率为C.双曲线E的渐近线方程为y=±2xD.过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条10.张同学从学校回家要经过2个路口,假设每个路口等可能遇到红灯或绿灯,每个路口遇到红绿灯相互独立,记事件A:“第1个路口遇到绿灯”,事件B:“第2个路口遇到绿灯”,则A.P(A)=B.P(AB)=C.P()=D.P(A+B)=11.已知f(x)是定义在R上的函数,且任意x,yR有f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=，则A.f(x)为R上的单调递增函数B.f(x)为奇函数C.函数在x=0处取极小值D.函数h(x)=f(x)-2sinx-1只有一个非负零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分12.已知向量a=(k,2),b=(2,1),若a⊥b,则实数k=。13.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上,且AB=CD=,AC=BD=,AD=BC=,则球O的半径为。14.已知直线l1与曲线y=aex和y=lnx-lna都相切,倾斜角为α,直线l2与曲线y=aex和y=lnx-lna都相切,倾斜角为β,则tanα+4tanβ取最小时,实数a的值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（13分）求证：求值：16.（15分）如图,AE⊥平面ABCD,E,F在平面ABCD的同侧,AE//DF,AD//BC,AD⊥AB,AD=AB=BC=1.(1)若B,E,F,C四点在同一平面内,求线段EF的长;(2)若DF=2AE,平面BEF与平面BCF的夹角为30°,求线段AE的长17.（15分）已知函数f（x）=xex。（1）求f（x）的单调区间（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围。18.（17分）已知椭圆E：，直线l1与E交于M(-4,0),N(-2,2)两点,点P在线段MN上(不含端点),过点P的另一条直线l2与E交于A,B两点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若,,点A在第二象限,求直线l2的斜率;(3)若直线MA,MB的斜率之和为2,求直线l2的斜率的取值范围19.（17分）组合投资需要同时考虑风险与收益.为了控制风险需要组合低风险资产,为了扩大收益需要组合高收益资产.现有两个相互独立的投资项目A和B,单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X,单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y.若将100万资金按λA+(1-λ)B进行组合投资,则投资收益的随机变量Z满足Z=λX+(1-λ)Y,其中0≤λ≤1.假设在组合投资中,可用随机变量的期望衡量收益,可用随机变量的方差衡量风险.（1）若Y~B(100,0.03),λ=0,求Z的期望与方差;（2）已知随机变量X满足分布列:Xx1x2x3…xk…xnP（X）P（X=x1）P（X=x2）P（X=x3）…P（X=xk）…P（X=xn）随机变量Y满足分布列:Yy1y2y3…yk…ymP（Y）P（Y=y1）P（Y=y2）P（Y=y3）…P（Y=yk）…P（Y=yn）且随机变量X与Y相互独立,即P(X=xi,Y=yi)=P(X=xi)·P(Y=yi),Z=λX+(1-λ)Y,.求证:D(Z)=λ2D(X)+(1-λ)2D(Y);(3)若投资项目X是高收益资产,其每年的收益满足:有30%的可能亏损当前资产的一半;有70%的可能增值当前资产的一倍.投资项目Y是低风险资产,满足Y~B(100,0.03).试问λ=0.3能否满足投资第1年的收益不低于17万,风险不高于500?请说明理由。