2024届吉林省吉林市普通高中高三第四次模拟考试数学试题（解析版）

吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第三次模拟考试数学试题说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数几何意义及三角函数值符号判断其所在象限即可.【详解】由复数的几何意义知，复数在复平面中对应点，又因为，所以，，所以点位于第一象限.故选：A.2.已知若，则实数的值为（）A.1 B.4 C.1或4 D.2【答案】B【解析】【分析】分和，求解，即可得出答案.【详解】当时，，则，解得：（舍去）；当时，，则，解得：.故选：B3.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】D【解析】【分析】根据正态分布性质可得【详解】因为，所以，所以.故选：D.4.若互不相等的正数满足，则（）A.成等差数列 B.成等比数列C.成等差数列 D.成等比数列【答案】D【解析】【分析】根据互不相等，且得到，转化为，根据等比中项的概念，判断成等比数列.【详解】因为互不相等，且，所以，即，所以成等比数列.故选：D5.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义，即可判断四个选项的奇偶性，只有是奇函数，又正切函数在上不是单调递增函数，而函数的导函数恒大于零，所以只有C正确.【详解】对于A，，为偶函数，故A错误；对于B，，为奇函数，又在不满足单调递增定义，所以B错误；对于C，，为奇函数，，在区间上单调递增，故C正确；对于D，是非奇非偶函数，所以D错误.故选：C.6.已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：，两式相除解得，；所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高，设圆锥的内切圆半径为，，解得.故选：D.7.已知圆与轴交于两点，点在直线上，若以为焦点的椭圆过点，则该椭圆的离心率的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求出点关于直线对称的点的坐标，结合两点之间线段最短，即可求出的最小值，由此即可求出离心率的最大值．【详解】由题意知，，以，为焦点的椭圆的半焦距为，由题意可知直线1与椭圆有交点，设点关于直线对称的点为，则，解得，则，因为，则该椭圆的离心率的最大值为．故选：B．8.已知为锐角，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为，为锐角，且，两边同时除以得，，，为锐角，，，当且仅当，即时取等号，最大值为．故选：A．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合，则（）A. B.C. D.的子集个数为2【答案】BCD【解析】【分析】解对数不等式及绝对值不等式，结合集合的交集、并集运算及子集的定义计算即可.详解】对于A项，由题意知，，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，故C项正确；对于D项，因为，所以的子集为、共2个，故D项正确.故选：BCD.10.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.各二项式系数的和为64 B.各项系数的绝对值的和为729C.有理项有3项 D.常数项是第4项【答案】AB【解析】【分析】利用各二项系数和可判断A选项；根据二项式展开式的系数的绝对值和与二项式的展开式的系数和相等，可判断B选项；根据展开式的通项可判断C选项和D选项；【详解】在的展开式中，各二项式系数的和为，故A正确；各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等，令，可得各项系数的绝对值的和为，故B正确；展开式的通项为，令，得时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，故C错误；令，得，所以常数项是第5项，故D错误.故选：AB.11.如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（）A.翻折过程中，与可能垂直B.在翻折过程中，二面角无最大值C.当三棱锥体积最大时，与所成角小于D.点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当时可证平面平面，从而可证，判断A；且此时二面角取得最大值，判断B；还是此时，当三棱锥体积最大，可求异面直线与所成角，判断C；对D，根据圆锥曲线的定义，判断二面角的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥的体积的取值范围，判断D.【详解】如图1：在未折起之前，有，，，..又，，所以.沿将翻折，则点轨迹为一个圆，且圆面一直和垂直，如图：当时，，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面，平面平面，，所以平面.平面，所以.故A正确.此时，，所以即为二面角的平面角为，是二面角的最大值，故B错误；此时三棱锥的高等于，高取得最大值，又底面不变，所以三棱锥的体积最大.如图：取中点，连接，，则即为一面直线与所成角，在中，，，，所以，所以，故C正确；对D：点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，根据圆锥曲线的概念，二面角应该在之间取值，且不能为（此时点的轨迹是圆），当二面角或时，，当二面角时，，所以点在平面内，且直线与直线所成角为，且点的轨迹是椭圆时，，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：用一个平面截圆锥体，要想得到的截面是一个椭圆，截面不能和圆锥的母线相交，且截面不能与圆锥的轴垂直（此时的截面是圆）.三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．12.已知向量，若，则_________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得的值，从而可求模长.【详解】因为，，所以，解得，所以.故答案为：.13.“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有_________种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则_________（结果用表示）.【答案】①.8②.【解析】【分析】结合题意及分类加法原理，依次计算到达、、、、的走法即可.由题意可知数列为斐波那契数列，即（且），结合累加法求解即可.【详解】由题意知，到达点共有1种走法，到达点共有种走法（一种是经过点到达，一种是直接到达），到达点共有种走法（一种是经过，一种是经过，所以到达将、的走法加起来），到达点共有种走法（一种是经过和，一种是经过，所以到达将、的走法加起来），到达点共有种走法（一种是经过和，一种是经过和，所以到达将、的走法加起来），故按图中所示方向到达有8种不同的打卡路线.由题意知，，，，，，…，（且），因为（且），所以，，，…，，（且），将上式累加可得，（且），整理可得，又，，所以，即.故答案为：8；.14.已知拋物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，过作轴垂线，垂足分別为，直线与直线交于点，则与的面积比值为_________.【答案】1【解析】【分析】设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程求得，再求出点坐标，讨论点在点的右侧或左侧，表示出，所以，再将韦达定理代入即可得出答案.【详解】依题意作示意图如下图，图一为点在点的右侧，图二为点在点的左侧，根据抛物线方程有：，设直线的方程为：，，，故，若，则直线与直线不相交，故，联立直线与抛物线的方程有：，则，则，直线的方程为：，令，得到，所以，因为，所以，而对于，当点在点的右侧，根据图象可知，，当点在点的左侧，根据图象可知，，即，所以，.故答案为：1.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程求得，再求出点坐标，讨论点在点的右侧或左侧，表示出，所以，再将韦达定理代入即可得出答案.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的三个内角的对边分别为，且．（1）求；（2）在方向上投影向量是，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简得到求解；（2）（方法一）由在方向上的投影向量，化简得到，再利用余弦定理求得即可；（方法二）：过作，设，在Rt中，由求解.【小问1详解】解：由正弦定理得，，即，又，，即得或（舍），又.【小问2详解】（方法一）在方向上的投影向量为，即，，由余弦定理，，，则；（方法二）：如图所示：过作，垂足为，则为在方向上的投影向量，设，则，在Rt中，，，.16.如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.（1）证明：平面平面；（2）若点为的中点，求直线到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得，，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.（2）由线面平行判定定理可证得平面，则点到平面的距离即为到平面的距离.方法一：以为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法计算即可.【小问1详解】证明：连接，如图所示，平面，，，即，又为中点，则，且，四边形为正方形，，平面平面，又，、平面，平面，又平面平面平面.【小问2详解】在中，分别为中点，，又平面平面，平面，点到平面的距离即为到平面的距离，（方法一），以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，，设是平面的法向量，，取，则是平面的一个法向量，点到平面的距离为，即直线到平面的距离为.（方法二）连接、，如图所示，为等腰直角三角形，，又平面是三棱锥的高，，，，，设到平面距离为，则，，即到平面的距离为.17.已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且．（1）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线；（2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围.【答案】（1），点的轨迹是焦点在轴上，实轴长、虚轴长均为的等轴双曲线．（2），【解析】【分析】（1）设点，根据列出等量关系整理可得；（2）设直线，联立双曲线方程，利用韦达定理结合，可得的值及的取值范围.【小问1详解】设点，圆的半径为为到直线的距离，则．根据题意，动点的轨迹就是点的集合即，整理得.所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长、虚轴长均为的等轴双曲线．【小问2详解】设直线，倾斜角大于设联立得，故，，，由题知，双曲线的焦点，由得的取值范围是18.短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人