山西省阳泉市2024届高三下学期第三次模拟测试数学试题

秘密★启用前2024年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．4．考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，则集合与集合的关系是（）A． B． C． D．2．已知是实系数方程的一个复数根，则（）A． B． C．1 D．93．已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（）A． B． C． D．5．已知非零向量满足，且与上的投影向量为，则（）A． B． C．2 D．6．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为．若，则的值可以是（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．已知正方体的棱长为．为线段的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（）A． B． C． D．二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．510．在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（）A． B．C． D．若，则与互斥11．已知定义在上的函数满足，则（）A．是奇函数 B．在上单调递减C．是偶函数 D．在在上单调递增三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知，则______．13．已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和______．14．已知函数恰有3个零点，则的取值范围是______．四、解答题：（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题13分）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取四个点，使得，测得．（1）若选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求两点间距离；（2）求的值．16．（本小题15分）全国“村”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱．每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况整理成如下列联表：甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场4045未上场3合计42（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时、打前锋、中锋、后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为．（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，求甲球员打中锋的概率．（精确到0.01）附：．0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817．（本小题15分）在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．（1）证明：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本小题17分）设函数（1）当时，恒成立，求的最大值；（2）证明：对任意正整数，不等式．19．（本小题17分）已知圆．点在圆上，延长到，使，点在线段上，满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设点在直线上运动，．直线与轨迹分别交于两点，求证：所在直线恒过定点。机密★启用前2024年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题高三数学参考答案和评分标准一、单项选择题：（每小题5分，共40分）题号12345678选项CAADBCAD二、多项选择题：（每小题5分，共20分）题号91011选项BDBCDAB三、填空题：（每小题5分，共20分）12． 13．或 14．四、解答题：（本大题共6小题，共70分）15．解：（1）在中，由正弦定理得，即，解得，，为等腰直角三角形，，则．在中，由余弦定理得，故．故两点间距离为．（2）设，则由题意可知，．在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又，．16．解：（1）根据题意，可得的列联表：甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场40545未上场235合计42850零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关此时根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关．（2）由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为、、，相应球队赢球的概率分别为、、．（i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，则．．当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：.（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，甲球员打中锋的概率为：故当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，甲球员打中锋的概率约为0.55．17．解：（1）设与交点为，连接．四边形是菱形，是的中点．在中，是等边三角形，．在中，是的中点，．（4分）又平面，平面．（2）连接，是等边三角形，是线段的中点，．又平面平面，平面平面平面，平面．以为原点，、所在直线分别为轴、轴如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，于是，设平面的法向量为，则，即，令，得，平面的一个法向量为．设直线与平面所成角大小为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）由已知得，，设则总成立，在上递增，，当即时，可知总成立，在上递增，总成立，故满足题意．当时，在上递增，存在使得，由得，由得在上递减，此时，，显然与题意矛盾，不合题意．综上，为所求．（2）由（1）可得当，且时，恒成立．，当且仅当时等号成立，令，则，．故．19．解：（1），，为的中点，又为的中点，，则，点的轨迹是以为焦点的椭圆，而，点的轨迹的方程为；（2）由（1）得是椭圆的左右顶点，设，由三点共线，得，而，，由三点共线，得，而，，，即，设的方程为，联立，得，则，，，由，得，即，，恒成立，，所在直线恒过定点．（以上答案仅供参考，如有不同解法酌情给分）