【河北卷】河北省2024届高三年级模拟考试暨河北省邯郸市部分示范性高中高三第三次模拟考试数学答案

数学答案与解析１．Ｄ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ａ ５．Ｂ６．【答案】Ｂ→→→【解析】由ＡＰ＝λＡＢ＋μＡＤ，当Ｐ在直线ＢＤ上时，λ＋μ＝１，当圆Ｃ与ＤＢ的切点在ＤＢ延长线上时，圆Ｃ落在四边形ＡＢＣＤ内π部部分与直线ＤＢ没有公共点，此时λ＋μ＞１，得∠ＤＢＣ＞，２ππ０＜∠Ｃ＜，故答案为（０，）．３３７．【答案】Ｄ【解析】ｆ（ｘ）为偶函数，所以ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ），ｆ′（ｘ）＝－ｆ′（－ｘ）ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ），所以ｇ（ｘ）为奇函数．３３３３３ｇ（０）＝０．因为ｆ（－２ｘ）为奇函数，所以ｆ（－２ｘ）＝－ｆ（＋２ｘ），得ｆ（－ｘ）＝－ｆ（＋ｘ），４４４４４３３３即ｆ（ｘ）关于点（，０）对称，所以ｆ′（＋ｘ）＝ｆ′（－ｘ），４４４３３３即ｇ（＋ｘ）＝ｇ（－ｘ）ｇ（ｘ）＝ｇ（－ｘ）， ①４４２３３所以ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ）＝ｇ（－ｘ）ｇ（ｘ）＝－ｇ（ｘ＋）， ②２２得ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），ｇ（ｘ）的周期为３．故ｇ（ｘ）为周期为３的奇函数．ｇ（０）＝ｇ（３）＝０．又２是ｆ（ｘ）的极值点，得ｇ（２）＝０，ｇ（５）＝０，ｇ（－２）＝０，ｇ（１）＝０，ｇ（４）＝０．ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），又ｇ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ）＝－ｇ（－ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），得－ｇ（－ｘ）＝ｇ（ｘ＋３），３３３９所以ｇ（ｘ）关于点（，０）对称，故ｇ（）＝０，且ｇ（＋３）＝ｇ（）＝０，２２２２３３１１１７由①ｇ（ｘ）＝ｇ（－ｘ）ｇ（１）＝ｇ（－１）＝ｇ（）＝０，又ｇ（）＝ｇ（＋３）＝ｇ（）＝０２２２２２２３３５５５１１由②ｇ（ｘ）＝－ｇ（ｘ＋）ｇ（１）＝－ｇ（１＋）＝－ｇ（）＝０，又ｇ（）＝ｇ（＋３）＝ｇ（）＝０２２２２２２１３５７９１１故ｇ（ｘ）＝０在（０，６）内解最少有，１，，２，，３，，４，，５，，最少有１１个．２２２２２２{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}书８．【答案】Ｃａｎ＋１ｎ＋１【解析】由ｎａｎ＋１＝（２ｎ＋２）ａｎ，得＝２，ａｎｎａｎｎａｎ－１ｎ－１ａｎ－２ｎ－２ａ２２所以＝２，＝２，＝２，…，＝２（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ）ａｎ－１ｎ－１ａｎ－２ｎ－２ａｎ－３ｎ－３ａ１１ａｎｎ－１ｎｎ－１＝２，得ａｎ＝ｎ２．ａ１１０１２３９９设Ｓ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ１００＝１·２＋２·２＋３·２＋４·２＋…＋１００·２①则２Ｓ＝１·２１＋２·２２＋３·２３＋４·２４＋…＋１００·２１００ ②①－②得－Ｓ＝１＋２＋２２＋２３＋…＋２９９－１００·２１００１－２１００－Ｓ＝－２１００·１００＝－９９·２１００－１１－２Ｓ＝９９·２１００＋１９９ａ１００１００·２５０＝１００＝．ａ２＋ａ３＋ａ４＋…＋ａ１００９９·２９９９．ＢＤ１０．【答案】ＡＣＤｘｘ【解析】【法一】由１＋ｃｏｓｘ＋１－ｃｏｓｘ＝２ｃｏｓ２＋２ｓｉｎ２＝ｋ得槡槡槡２槡２槡ｘｘ２ｃｏｓ＋ｓｉｎ＝ｋ槡(２２)槡ｘｘ２ｋ－２２ｃｏｓ＋ｓｉｎ＝ｋ２＋２ｓｉｎｘ＝ｋｓｉｎｘ＝．(２２)２ｋ－２２由ｙ＝ｓｉｎｘ的图象可知，的值为０，１，槡时，２２槡１＋ｃｏｓｘ＋槡１－ｃｏｓｘ＝槡ｋ的正根构成等差数列，得ｋ＝２，４，２＋槡２，故选ＡＣＤ．ｘｘｘｘ【法二】ｙ＝１＋ｃｏｓｘ＋１－ｃｏｓｘ＝２ｃｏｓ２＋２ｓｉｎ２＝２ｃｏｓ＋ｓｉｎ槡槡槡２槡２槡(２２)其周期为π，设ｘ∈［０，π］ｘｘ则ｙ＝２ｃｏｓ＋ｓｉｎ ｘ∈［０，π］，槡(２２)其图象如右图所示．ｘｘｙ＝２ｃｏｓ＋ｓｉｎ＝ｋ的正根构成等槡(２２)槡差数列，得槡ｋ＝２、槡ｋ＝槡２时成立，故ＣＤ正确；π３π５π７π且ｘ＝，ｘ＝，ｘ＝，ｘ＝，…ｙ值也满足题意，４４４４ππππ２２π２πππ２ｓｉｎ＋ｃｏｓ＝２（ｓｉｎ＋ｃｏｓ）＝２ｓｉｎ＋ｃｏｓ＋２ｓｉｎｃｏｓ槡(８８)槡槡８８槡槡８８８８π２＝２１＋ｓｉｎ＝２１＋槡，槡槡４槡槡２得ｋ＝２＋槡２，故Ａ正确．{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}１１．【答案】ＢＣＤ１【解析】ｆ（ｘ）＝ｘ４－ｂｘ２＋ｃｘ有三个不同极值点ｘ，ｘ，ｘ，４１２３３３则ｆ′（ｘ）＝ｘ－２ｂｘ＋ｃ＝０有三个不等实根为ｘ１，ｘ２，ｘ３，则ｘ－２ｂｘ＝－ｃ定有三个解．设ｇ（ｘ）＝ｘ３－２ｂｘｇ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｂ，当ｂ≤０，ｇ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ｂ≥０，得ｇ（ｘ）单调递增，２ｂｘ３－２ｂｘ＝－ｃ不会有三个解，所以ｂ＞０，ｇ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｂ＝０ｘ±，槡３２ｂ２ｂ２ｂ２ｂ得ｇ（ｘ）在（－∞，－）单调递增，在（－，）单调递减，在（，＋∞）单调递增．槡３槡３槡３槡３２ｂｘ３－２ｂｘ＝－ｃ定有三个解ｇ（－）＞－ｃ恒成立，槡３２ｂ因为－ｃ∈（０，１］，所以ｇ（－）＞１恒成立．槡３３２ｂ２ｂ２ｂ３２即ｇ（－）＝（－）３＋２ｂ＞１，得ｂ＞槡，故Ａ错误；槡３槡３槡３４３设ｘ－２ｂｘ＋ｃ＝（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）（ｘ－ｘ３）３２＝ｘ－（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３）ｘ＋（ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３＋ｘ２ｘ３）ｘ－ｘ１ｘ２ｘ３，故ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０，ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３＋ｘ２ｘ３＝－２ｂ，ｘ１ｘ２ｘ３＝－ｃ，故ｘ１ｘ２ｘ３∈（０，１］，故Ｄ正确；２２２２又（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３）＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３＋２ｘ２ｘ３＝０２２２３ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝－（２ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３＋２ｘ２ｘ３）＝４ｂ＞３槡２，故Ｂ正确；３３３又ｘ１＋２ｂｘ１＋ｃ＝０，ｘ２＋２ｂｘ２＋ｃ＝０，ｘ３＋２ｂｘ３＋ｃ＝０，３３３则ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝－２ｂｘ１－ｃ－２ｂｘ２－ｃ－２ｂｘ３－ｃ＝－３ｃ，又ｃ∈［－１，０），故－３ｃ∈（０，３］，３３３ｘ１＋ｘ２＋ｘ３的最大值为３，故Ｃ正确．３９２π１２．３１３．９２（ｅ２＋１）１４．槡４ｅ２ｙ【解析】由ｙ≤≤ｌｎｘ，得０＜ｘ≤１，ｘｙ又≤ｌｎｘ，ｘ当ｙ≥０时，ｙ≤－ｘｌｎｘ，当ｙ＜０时，ｙ≥ｘｌｎｘ，由函数ｙ＝ｘｌｎｘ与ｙ＝－ｘｌｎｘ图象可知点Ｐ位于图中阴影部分区域，则点Ｐ到直线ｘ－ｙ－ｍ＝０（ｍ∈Ｒ）最大距离的最小值为函数ｙ＝－ｘｌｎｘ上切线斜率为１的点到直线ｘ－ｙ－１＝０的距离的一半．{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}ｙ＝－ｘｌｎｘｙ′＝－ｌｎｘ－１，－２设－ｌｎｘ０－１＝１，得ｘ０＝ｅ，－２－２－２２－２－２ｅ－２ｅ－１ｅ＋１槡２（ｅ＋１）点（ｅ，２ｅ）到ｘ－ｙ－１＝０的距离为＝＝２．槡２槡２２ｅ２（ｅ２＋１）故答案为槡．４ｅ２四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。－ｎ１５．解：（１）因为Ｓｎ＝１－２１当ｎ≥２时，ａ＝Ｓ－Ｓ＝１－２－ｎ－（１－２－ｎ＋１）＝!!!!!!!!!!!!!!２分ｎｎｎ－１２ｎ１又因为ｎ＝１时，ａ＝Ｓ＝１－２－１＝也满足上式!!!!!!!!!!!!!!!３分１１２１所以当ｎ∈Ｎ时，ａ＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分ｎ２ｎ１ｂ＝ｌｏｇ１ａ＝ｌｏｇ１＝ｎ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分ｎ２ｎ２２ｎ１１１１（２）由ｂｎ＝ｎ，得＝＝－ｂｎｂｎ＋１ｎ（ｎ＋１）ｎｎ＋１１１１１１１１１１１１Ｔｎ＝＋＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝１－!!８分ｂ１ｂ２ｂ２ｂ３ｂ３ｂ４ｂｎ－１ｂｎ１２２３ｎｎ＋１ｎ＋１１１１１２ｎ－（ｎ＋１）Ｓ－Ｔ＝（１－）－（１－）＝－＝!!!!!!!!!!!１０分ｎｎ２ｎｎ＋１ｎ＋１２ｎ（ｎ＋１）２ｎ当ｎ＝１时，２ｎ＝ｎ＋１ｎ０１２ｎ２ｎ当ｎ≥２时，２＝Ｃｎ＋Ｃｎ＋Ｃｎ＋…＋Ｃｎ＝１＋ｎ＋Ｃｎ＋…＋Ｃｎ＞ｎ＋１，Ｓｎ＞Ｔｎ．!!!!１２分综上所述：当ｎ＝１时，Ｓｎ＝Ｔｎ，当ｎ≥２时，Ｓｎ＞Ｔｎ．!!!!!!!!!!!!!!１３分１６．解：（１）等腰直角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，得∠ＡＢＣ＝９０°点Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，ＥＦ∥ＢＣ，所以ＥＦ⊥ＡＢ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分将△沿ＥＦ翻折到△ＤＥＦ位置后，ＥＦ⊥ＥＤ，ＥＦ⊥ＥＢ，ＥＤ面ＢＤＥ，ＥＢ面ＢＤＥ，ＤＥ∩ＥＢ＝Ｅ，所以ＥＦ⊥面ＢＤＥ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分又ＥＦ∥ＢＣ，得ＢＣ⊥面ＢＤＥ，又ＢＣ面ＢＣＤ，所以平面ＢＣＤ⊥平面ＢＤＥ!!!!!６分（２）【法一】由（１）知ＢＣ⊥面ＢＤＥ，所以面ＡＢＣ⊥面ＢＤＥ．又因为ＤＢ＝ＥＢ，所以△ＢＤＥ为等边三角形，设ＥＢ的中点为Ｏ，则ＤＯ⊥面ＡＢＣ，过Ｏ作ＯＭ⊥ＡＢ交ＡＣ于Ｍ．以Ｏ为坐标原点，ＯＭ，ＯＢ，ＯＤ所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设ＡＢ＝ＢＣ＝４，得Ｄ（０，０，槡３），Ｅ（０，－１，０），Ｆ（２，－１，０），Ｃ（４，１，０）{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}→→→所以ＥＤ＝（０，１，槡３），ＥＦ＝（２，０，０），ＥＣ＝（４，２，０）!!!!!!!!!!!!!!!９分设平面ＤＥＦ的一个法向量为ｍ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），→ｍ·ＥＤ＝０ｙ１＋槡３ｚ１＝０则→{ｍ·ＥＦ＝０{ｘ＝０１可取ｍ＝（０，３，－槡３），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分设平面ＤＥＣ的一个法向量为ｎ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），→ｎ·ＥＤ＝０ｙ２＋槡３ｚ２＝０则→ {ｎ·ＥＣ＝０{４ｘ＋２ｙ＝０２２３可取ｎ＝（－，３，－３），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１３分２槡ｍ·ｎ１２４１９则ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝＝＝槡，ｍ·ｎ５７１９２３·槡槡２４１９平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ夹角的余弦值为槡．!!!!!!!!!!!!!!!!１５分１９【法二】点Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，ＥＦ∥ＢＣ，ＢＣ⊥面ＤＥＢ，所以ＥＦ⊥面ＤＥＢ，面ＤＥＦ⊥面ＤＥＢ，且面ＤＥＦ∩面ＤＥＢ＝ＤＥ，不妨设ＡＢ＝ＢＣ＝４，则点Ｂ到面ＤＥＦ的距离为槡３，!!!８分故点Ｃ到面ＤＥＦ的距离为槡３．设ＥＢ的中点为Ｏ，则ＤＯ⊥面ＡＢＣ，∠ＯＢＣ＝９０°，ＢＤ＝４，ＯＢ＝１ＯＣ＝槡１７，ＢＥ＝２ＥＣ＝２槡５!!!!!!!!!!１０分△ＤＯＣ中∠ＤＯＣ＝９０°，ＯＣ＝槡１７，ＯＤ＝槡３ＤＣ＝２槡５!!!!!!!!!!!!１１分所以△ＤＥＣ为等腰三角形，ＤＣ＝ＥＣ＝２槡５且ＤＥ＝２，得点Ｃ到ＤＥ的距离为槡１９，又Ｃ到面ＤＥＦ的距离为槡３，３所以平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ夹角的正弦值为槡，!!!!!!!!!!!!!!１３分槡１９４１９得平面ＤＥＦ与平面ＤＥＣ夹角的余弦值为槡．!!!!!!!!!!!!!!!１５分１９１７．解：（１）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为４０％．设抽取的三人中满分人数为Ｘ，则Ｘ＝０，１，２，３．２２７则Ｐ（Ｘ＝０）＝（１－）３＝，５１２５２３５４Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１（）２＝，３５５１２５２３３６Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２（）２＝，３５５１２５{#{QQABIYgUggAAAJIAARgCAwWwCgIQkAGCAIoOxAAIsAIACRFABAA=}#}２８Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ３（）３＝，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分３５１２５则Ｘ的分布列为Ｘ０１２３２７５４３６８Ｐ１２５１２５１２５１２５２∵Ｘ～Ｂ（３，），５２６∴数学期望Ｅ（Ｘ）＝３×＝．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分５５（２）【法一】设该校总人数为Ｎ人，则体育项目测试满分的有Ｎ×４０％＝０４Ｎ人，每天运动时间超过两个小时的人数有Ｎ×２０％＝０２Ｎ人，!!!!!!!!!!!!!!!５分超过两个小时的人体育项目测试满分率约为５０％，则其中测试满分的有个０２Ｎ×５０％＝０．１Ｎ个人，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分因此每天运动时间不超过两个小时的学生有Ｎ×（１－２０％）＝０８Ｎ个人中，测试满分的有０．３Ｎ３０．４Ｎ－０．１Ｎ＝０．３Ｎ个人，任取１名学生，他体育测试满分的概率为Ｐ＝＝．!!０