山西省太原市第五中学2024届高三下学期一模试题 数学答案

太原五中高三校考数学题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．．已知全集为，集合2--＜，2，则（）1RA={xx2x30}B={yyx}(CRB)∩A=A{x-1＜x＜2}B{x2＜x＜3}C{xx＜3}D{x-1＜x<0}【答案】．【详解】-＜＜，，DA={x1x3}CRB={yy<0}∴-＜＜A∩(CRB)={x1x0}(1i)22．复数Z的共轭复数为（）1iA．1iB．12iC．1iD．12i(1i)2(2i)(1i)【答案】C．【详解】Z==-1-i，∴共轭复数为-1+i1i23313．设0,，条件p:cos，条件q:sin，则p是q的（）222A．充分不要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件331【答案】A．【详解】当0,cossin，22621533而sin得或，cos或，26622所以p是q的充分不必要条件4．甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为3353A．B．C．D．16884【答案】D．【详解】两人选取科目的不同方法共有4×4=16种，科目完全相同43的方法共有4×1=4种，∴科目不完全相同方法共有12种，P1.164x2y25．设双曲线-=1(a、b均为正值)的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与a2b2x2y2椭圆+=1的离心率之积为1，且有相同的焦距，则sin=43A．3B．7C．3D．2713213【答案】C．【详解】由题意易得，在双曲线中c=1，即a2+b2=1，又由两曲线的cc2a2b2b2b2b离心率之积为1得=2，∴14，∴3，∴3∴aa2a2a2a2a3tan=3，又0，∴sin=226．在ABC中，BC6，,AB4，CBA，设点D为AC的中点，E在BC上，2且AEBD0,则BCAE（）A．16B．12C．8D．-4【答案】A．【详解】建立如图坐标系，则A4，0，B0，0,c0，6，D2，3设E0，b，8b由题意可知AEBD，所以AEBD0.即4，b2,30.所以3.88所以E0,,AE4,.所以AEBC16.故选A.337.已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为（）3A．1B．C．D．32【答案】B【详解】如图，在圆锥中，设圆锥母线长为，底面圆半径为，因为侧面积为，所以，即．因为，所以，所以．棱长为的正四面体如图所示，则正方体的棱长为，体对角线长为，所以棱长为的正四面体的外接球半径为．取轴截面，设内切圆的半径为，则，解得，即圆锥的内切球半径为．因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即，所以正四面体的最大棱长为．*8．设数列an的前n项之积为Tn，满足an2Tn1（nN），则a2024（）4048404710111011A．B．C．D．4049404910131012【答案】B*【详解】因为an2Tn1(nN)，1所以a2T1，即a2a1，所以a，111113Tn*所以2Tn1(n2,nN)，显然Tn0，Tn111所以2(n2,nN*)，TnTn1111所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，TnT1a11所以32(n1)2n1，Tn11T20244047即T，所以a220241．n202412n1T20234049220231故选：B．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得部分分，有选错的得0分．9．如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则（）A．的图象不关于直线对称B．的最小正周期为C．的图像关于原点对称D．在单调递减【答案】ACD【详解】由题可，，，则，有，，，，把代入上式，得，解得(负值舍去)，，，由，解得，，解得，，对A，，故A正确；对B：的最小正周期为，故B错误；对C：，为奇函数，故C正确；对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确.故选：ACD.10．已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．C．D．函数与函数的图象有8个不同的公共点【答案】ABD【详解】由得函数关于对称，A正确；由得函数关于对称，所以，，所以，即，所以，故函数的周期为，由知，，又时，，所以，解得，所以时，，所以，B正确；，C错误；画出函数和函数的图象，如图：，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确.故选：ABD.11、外接圆半径为2的ABC满足2sinA3cosBcosC4,则下列选项正确的是（）5A．BCB．A121642C．ABC的面积是D．ABC的周长是255【答案】AC【详解】即，,，，，，，,，,,故选AC第Ⅱ卷（非选择题）三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．123n1n12.化简3Cn6Cn12Cn32Cn．3【答案】3n123【详解】3C16C212C332n1Cn2C122C223C32nCnnnnn2nnnn3n312C03n12n2c2sinC在中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知，那么13.222ABCbcasinB33，设边BC的中点为D，若a7，且的面积为，则AD的AABC4长是．13【答案】（或60），32sinCc【详解】（1）在中，由正弦定理得，，ABCsinBbc2sinCc2c因为，所以，b2c2a2sinBb2c2a2b化简得，b2c2a2bc，b2c2a21在ABC中，由余弦定理得，cosA，2bc2π又因为0Aπ，所以A31333由S△bcsinAbc，得bc3，ABC244由a2b2c22bccosA，得7b2c23，所以b2c210．1又因为边BC的中点为D，所以ADABAC，2111113所以AD(ABAC)2b2c22bccosA1023222222x2Px,y14.已知椭圆y1,O为原点，过第一象限内椭圆外一点00作椭圆的两2条切线，切点分别为A，B．记直线OA,OB,PA,PB的斜率分别为k1,k2,k3,k4，若1，则k1k2的最小值是45x03y0k3k4【答案】51【详解】由于k1k20，故A,B不关于x轴对称且A,B的横纵坐标不为0，4所以直线AB方程斜率一定存在，x2设直线AB的方程为ykxt，联立y21得，212k2x24ktx2t220，4kt2t22设Ax1,y1,Bx2,y2，则xx,xx，1212k21212k222故y1y2kx1tkx2tkx1x2ktx1x2t2t224kt2k2t2k2ktt2，12k212k212k2y1y2其中k1,k2，x1x2yy112故，即4y1y2x1x2，x1x248k24t22t22所以，解得t24k21，12k212k2xx又椭圆在点Ax,y的切线方程为1yy1，1121xx同理可得，椭圆在点Bx,y的切线方程为2yy1，2222xxxx由于点Px,y为1yy1与2yy1的交点，002122xxxx故10yy1，20yy1，210220x所以直线AB为0xyy1，20因为直线AB的方程为ykxt，对照系数可得x1k0,t，2y0y022221x022又t4k1，故41，整理得x0y01，y02y0又Px0,y0在第一象限，22故点Px0,y0的轨迹为双曲线xy1位于第一象限的部分，2bx1x11k32，同理可得ay12y12k1b2xx122k42，ay22y22k2111则k3k412k12k24k1k222又由于x0y01，x00，y00，故x0y0，设5x03y0h，则h0，22则两式联立得16y06hy0h250，由Δ36h264h2250得，h4，22检验，当h4时，5x03y04，又x0y01，5x04解得，满足要求.故5x03y0的最小值为4故35x3ykk的最小值是5y003404四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)目前，某校采用“翻转课堂”的教学模式，及学生先自学，然后老师再讲学生不会的内容。某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理的学习时间的相关关系，针对本校49名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于12小时的有21位学生，余下的人中，在物理考试中平均成绩不足120分的学生占总人数的5，统计后得到以下表格：7大于等于120分不足120分合计学时不少于12小时821学时不足12小时合计49(Ⅰ)请完成上面的2×2列联表，能否有97.5%的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关”？(Ⅱ)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周自主学习时间不少于12小时的人数的期望和方差．n(adbc)2附：K2=(ab)(cd)(ac)(bd)2≥P(Kk0)0.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82815.解：(Ⅰ)完成后的2×2列联表如下大于等于120分不足120分合计学时不少于12小时13821学时不足12小时82028合计212849--------------------------------3分49(132088)249∵K2==≈5.444＞5.024--------------------------------5分212821289∴能有97.5%的把握认为“成绩与自主学习时间有关”；--------------------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)中的2×2列联表知大于等于120分且周自主学习时间不少于12小13时的频率是，----------------------------------------------------------------------------7分21设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周自主学习时间不少于12小时的人数为随机变量Y，13依题意Y~B(20，)，------------------------------------------------------------------10分2113260∴E(Y)=20×=，212113132080D(Y)=20××(1-)=．---------------------------------------------------13分212144116．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90º，DA=DC=2AB=2．(Ⅰ)点E在侧棱PB上，且PD∥平面EAC，确定E在侧棱PB上的位置；(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=22，求二面角A—PD—B的余弦值．16.解：(Ⅰ)连接BD，设BD∩AC=