【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用大题06圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物

黄金冲刺大题06圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且，求实数的值．【答案】(1)；(2)或．【分析】（1）根据所给条件求出，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及，列出方程求即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为．由题意可知，解得所以椭圆的标准方程为．（2）设，如图，联立方程，消去，得，则，从而，因为，即，所以，解得或，经验证知，所以的值为或．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出，得椭圆的方程；（2）设直线，的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和求出和的方程，再求出O到直线的距离，可求的面积.【详解】（1）由题意知，，解得，所以椭圆的方程为；（2）若直线的斜率不存在，则直线的斜率为0，不满足，直线的的斜率为0，则三点共线，不合题意，所以直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由，消去得，设，则，，同理可得，由，得，解得，则，∴直线的方程为，∴坐标原点O到直线的距离为，即的面积的面积为.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．(1)求的方程．(2)是上两个动点，为的上顶点，是否存在以为顶点，为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，个【分析】（1）设椭圆的方程为，根据条件得到，即可求出结果；（2）设直线为，直线为，当时，由椭圆的对称性知满足题意；当时，联立直线与椭圆方程，求出的坐标，进而求出中垂线方程，根据条件中垂线直经过点，从而将问题转化成方程解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆的方程为，因为椭圆过两点，所以，得到，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，易知直线的斜率均存在且不为0，不妨设，，直线为，直线为，由椭圆的对称性知，当时，显然有，满足题意，当时，由，消得到，所以，，即，同理可得，所以，设中点坐标为，则，，所以中垂线方程为，要使为为底边的等腰直角三角形，则直中垂线方程过点，所以，整理得到，令，则，，所以有两根，且，即有两个正根，故有2个不同的值，满足，所以由椭圆的对称性知，当时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以为顶点，为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.  【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线为，直线为，联立椭圆方程求出坐标，进而求出直线的中垂线方程，将问题转化成直线的中垂线经过点，再转化成关于的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆，右顶点为，上､下顶点分别为是的中点，且.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线交椭圆于点，点，直线分别交直线于点，求证：线段的中点为定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点的坐标，进而证得线段的中点为定点.【详解】（1）由题可得，，的中点为，故椭圆的方程为；（2）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得，由，得.设，则，依题意可知直线的斜率存在，直线的方程为，令，得，同理可求得，，线段的中点为定点.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)点Q在定直线上，定直线方程为【分析】（1）设点的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得，结合正方形面积得的方程；（2）设，的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得，化简得，代入直线方程即可，从而求出定直线方程.【详解】（1）设，由，得，所以，因为正方形ABCD的面积为，即，所以，整理可得，因此C的轨迹方程为．（2）依题意，直线l存在斜率，设l：，即，设点，，，由，消y得，即，由，可以得到，所以，可得，，由，得，所以，可得，所以，因为，所以点Q在定直线上，定直线方程为．      6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且当的斜率为1时，．(1)求的方程；(2)设与的准线交于点，直线与交于点（异于原点），线段的中点为，若，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先设的方程为，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出，进而可求的坐标，可得直线轴，求出的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设的方程为，，，代入，可得，所以，，则，由题意可知当斜率为1时，，又，即，解得，所以的方程为；（2）由（1）知，直线的方程为，抛物线方程，，所以的纵坐标，将的纵坐标代入，得，所以的坐标，易知抛物线的准线为,又因为与的准线交于点，所以的坐标，则直线的方程为，把代入，得，即或，因为点异于原点，从而的纵坐标为，把代入，得，所以，因为的坐标，所以，的纵坐标相同，所以直线轴，且，所以面积，因为，所以，所以，因为点异于原点，所以，所以，因为，所以，所以，即面积的取值范围为.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.(1)证明：为定值（为坐标原点）；(2)若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线的方程为，则，由，消去，得，，所以，直线的方程为，化简得，令，得，所以因此.（2）因为点的横坐标为，由（1）可知，，设交抛物线于，，如图所示又由（1）知，，同理可得，得，又，，又，则，故结合，得.所以直线的方程为又，则，所以直线的方程为，设圆心,因为为的平分线，故点到直线和直线的距离相等，所以，因为，解得，故圆的半径，因此圆的方程为.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线的方程，然后与直线的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，，，则，，又是，的等差中项，，整理得点的轨迹方程为．（2）由（1）知，又，平移公式为即，代入曲线的方程得到曲线的方程为：，即．曲线的方程为．如图由题意可设M，N所在的直线方程为，由消去得，令，，则，，，又为锐角，，即，，又，，得或．（3）当时，由（2）可得，对求导可得，抛物线在点，，处的切线的斜率分别为，，在点M，N处的切线方程分别为，，由，解得交点的坐标．满足即，点在定直线上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的渐近线为，左顶点为.(1)求双曲线的方程；(2)直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，①求的横坐标；②求圆面积的取值范围.【答案】(1)(2)①；②且【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出得双曲线方程；（2）①设，由四点共圆可得，根据斜率公式转化为点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出；②求出点坐标得出，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在轴上，可设双曲线的方程为（，），从而渐近线方程为：，由题条件知：.因为双曲线的左顶点为，所以，，所以双曲线的方程为：.（2）如图，  ①，设直线的方程为：，将代入方程：，得，当且时，设，，则，.设直线的倾斜角为，不妨设，则，由于，，，四点共圆知：，所以直线的倾斜角为，.直线的方程为：，令，则，从而，所以，又，得：，又，代入上式得：，，，化简得：，解得：（舍）或.故点的坐标为.②直线的方程为，由①知：，所以.直线方程；，所以，若，在轴上方时，在的上方，即时，；若，在轴下方时，即时，，所以或.又直线与渐近线不平行，所以.所以，或且.因为，设圆的半径为，面积为，则，所以，当且仅当即时，上述不等式取等号，或且.所以且，从而且.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).(1)求E的渐近线方程；(2)若实数满足，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F，且，得，，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出和，由求的取值范围．【详解】（1）抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，设双曲线E的焦距为，则有，又，则.由，得，所以E的渐近线的方程为（2）设，，1与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有，由，解得，，.设，由，消去得，则有，，由，，有，即，由，有，所以.  【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知，曲线上任意一点到点的距离是到直线的距离的两倍.(1)求曲线的方程；(2)已知曲线的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，两点，直线、分别与直线交于，两点，为的中点.（i）证明：；（ii）记，，的面积分别为，，，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）是，【分析】（1）设曲线上任意一点坐标为，利用坐标