2024届江苏省南通市高三下学期高考适应性考试(三)数学试题

江苏省南通市2024届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题一、単项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则集合的子集个数为（）A.32 B.16 C.8 D.42.在梯形ABCD中,,且,点是BC的中点,则（）A. B. C. D.3.的展开式的常数项为()A.-21 B.-35 C.21 D.354.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为,侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系xOy中,已知点为抛物线上一点,若抛物线在点处的切线恰好与圆相切,则（）A. B.-2 C.-3 D.-46.已知,则（）A. B. C. D.7.某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军．已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”,则（）A. B. C. D.8.设定义域为的偶函数的导函数为,若也为偶函数,且,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求、全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知都是复数,下列正确的是（）A.若,则 B.若,则C、若,则 D.若,则10.在数列中,若对,都有(为常数),则称数列为“等差比数列”,为公差比,设数列的前项和是,则下列说法一定正确的是()A.等差数列是等差比数列B.若等比数列是等差比数列,则该数列的公比与公差比相同C.若数列是等差比数列,则数列是等比数列D.若数列是等比数列,则数列等差比数列11.在棱长为2的正方体中,点是棱的中点,点在底面ABCD内运动(含边界),则()A.若是棱CD的中点,则平面B.若平面,则是BD的中点C.若在棱AD上运动(含端点),则点F到直线的距离最小值为D.若与重合时,四面体的外接球的表面积为三、填空题（本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.已知函数则_____________.13.在平面直角坐标系xOy中,分别是双曲线的左,右焦点,设点是的右支上一点,则的最大值为_____________.14.定义:[x]表示不大于的最大整数,表示不小于的最小整数,如.设函数在定义域上的值域为,记中元素的个数为,则___________，_____________.(第一空2分,第二空3分)四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.(本小题满分13分)如图,正方形ABCD是圆柱的轴截面,已知,点是的中点,点为弦BE的中点.(1)求证:O1M∥平面ADE;(2)求二面角D—O1M—E的余弦值.16.(本小题满分15分)跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能,抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步,某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查,统计结果如下表.喜欢不喜欢合计男12820女101020合计221840（1）根据以上数据，判断能否有的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关?附:,其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班,据以往经验,张先生跑步上班准时到公司的概率为,张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一~周五）上班方式张先生作出如下安排:周一跑步上班,从周二开始,若前一天准时到公司,当天就继续跑步上班,否则,当天就开车上班,且因公司安排,周五开车去公司(无论周四是否准时到达公司).设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为,求的概率分布及数学期望.17.(本小题满分15分)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,其中为的面积.(1)求角的大小;(2)设是边BC的中点,若,求AD的长.18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别是椭圆的右顶点,上顶点,若的离心率为,且到直线AB的距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点的直线与椭圆交于M,N两点,其中点在第一象限,点在轴下方且不在轴上,设直线BM,BN的斜率分别为.①求证:为定值,并求出该定值;②设直线BM与轴交于点,求的面积的最大值.19.(本小题满分17分)已知函数,且在上的最小值为0.(1)求实数的取值范围;(2)设函数在区间上的导函数为,若对任意实数恒成立,则称函数在区间上具有性质.①求证:函数在上具有性质;②记,其中,求证:.2024年高考适应性考试（三）数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDBACBAA二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分）题号91011答案ADBCDACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．13．14．3四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）证明：取AE的中点N，连结DN，FN．在△AEB中，M，N分别是EB，EA的中点，所以MN∥AB，且AB＝2MN．在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，又点O1是CD的中点，所以O1D∥AB，且AB＝2O1D．所以MN∥O1D，且MN＝O1D，所以四边形MNDO1是平行四边形，………………………………3分所以O1M∥DN．又DN平面ADE，O1M平面ADE，所以O1M∥平面ADE．………………………………6分（2）解：因为AB是圆O的直径，E是的中点，且AB＝4，所以OE⊥OB，且OE＝OA＝OB＝2．以O为坐标原点，以OE，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz．依题意，O(0，0，0)，O1(0，0，4)，B(0，2，0)，E(2，0，0)，M(1，1，0)，A(0，－2，0)，D(0，－2，4)．………………………………7分所以，，．设是平面O1MD的法向量，则即取x1＝4，得y1＝0，z1＝1，所以是平面O1MD的一个法向量．………………………………9分设是平面O1ME的法向量，则即取x2＝2，得y2＝2，z2＝1，所以是平面O1ME的一个法向量．………………………………11分所以．设二面角D－O1M－E的大小为θ，据图可知，，所以二面角D－O1M－E的余弦值为．………………………………13分16．（本小题满分15分）解：（1）假设H0：人们对跑步的喜欢情况与性别无关．根据题意，由2×2列联表中的数据，可得，………………………3分因为，所以没有认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联．……………………5分（2）X的所有可能取值分别为1，2，3，4．；………………………7分；………………………9分；………………………11分，………………………13分所以．所以X的数学期望为．………………………15分17．（本小题满分15分）解：（1）据，可得，即，………………………2分结合正弦定理可得．在△ABC中，，所以，整理得．………………………4分因为，，故，即，又，所以．………………………6分（2）法一：因为D是边BC的中点，，所以BD＝CD＝1．在△ABD中，AB⊥AD，则AD＝BDsinB＝sinB．………………………8分在△ACD中，∠CAD＝－＝，C＝π－－B＝－B，CD＝1，据正弦定理可得，，即，所以．………………………11分所以，即，所以，………………………13分又，，所以，解得，所以．………………………15分法二：因为D是边BC的中点，故S△ABD＝S△ACD，所以，即，整理得①．………………………10分在△ABC中，据余弦定理得，，即②．联立①②，可得，．………………………13分在Rt△ABD中，据勾股定理得，，所以．………………………15分法三：延长BA到点H，使得CH⊥AB．在Rt△CHB中，AD⊥AB，CH⊥AB，故AD∥CH，又D是BC的中点，所以A是BH的中点，所以AH＝AB＝c，CH＝2AD，且．………………………10分在Rt△CHA中，，AC＝b，AH＝c，所以CH＝bsin＝b，且c＝bcos＝b．………………………12分所以，即，解得(负舍)，所以．………………………15分法四：延长AD到E，使AD＝DE，连结EB，EC．因为D是BC的中点，且AD＝DE，故四边形ABEC是平行四边形，BE＝AC＝b．又，所以．在Rt△BAE中，AB⊥AD，，AB＝c，BE＝AC＝b，所以，且．………………………10分在Rt△BAD中，AB⊥AD，AB＝c，AD＝AE＝b，BD＝a＝1，据勾股定理，可得，………………………13分将代入上式，可得(负舍)，所以．………………………15分18．（本小题满分17分）解：（1）设椭圆C的焦距为2c(c＞0)，因为椭圆C的离心率为，所以，即，据，得，即．………………………2分所以直线AB的方程为，即，因为原点O到直线AB的距离为，故，解得，所以，………………………4分所以椭圆C的标准方程为．………………………5分（2）设直线l的方程为，其中，且，即．设直线l与椭圆C交于点，．联立方程组整理得，所以，．………………………8分①所以为定值，得证．………………………11分②法一：直线BM的方程为，令，得，故．设直线BN与x轴交于点Q．直线BN的方程为，令，得，故．联立方程组整理得，解得或0(舍)，．所以△BNT的面积，由①可知，，故，代入上式，所以，因为点N在x轴下方且不在y轴上，故或，得，所以，………………………14分显然，当时，，当时，，故只需考虑，令，则，所以，当且仅当，，即时，不等式取等号，所以△BNT的面积S的最大值为．………………………17分法二：直线BM的方程为，令，得，故．设直线BN与x轴交于点Q．直线BN的方程为，令，得，故．由①可知，，故，所以点A(2，0)是线段TQ的中点．故△BNT的面积，其中d为点N到直线AB的距离．………………………14分思路1显然，当过点N且与直线AB平行的直线与椭圆C相切时，d取最大值．设直线的方程为，即，联立方程组整理得，据，解得(正舍)．所以平行直线：与直线l：之间的距离为，即d的最大值为．所以△BNT的面积S的最大值为．………………………17分思路2因为直线l的方程为，所以，依题意，，，，故，所以．因为在椭圆C上，故，即，所以，当且仅当时取等号，故，所以，即△BNT的面积S的最大值为．………………………17分思路3因为直线l的方程为，所以，因为在椭圆C上，故，设，，不妨设，所以，当，，时，．即△BNT的面积S的最大值为．………………………17分19．（本小题满分17分）解：（1），，，，，，等号不同时取，所以当时，，在上单调递增，．（ⅰ）若，即，，在上单调递增，所以在上的最小值为，符合题意．………………………3分（ⅱ）若，即，此时，，又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在，使得，且当时，，在上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去．综上所述，实数a的取值范围是．………………………6分（2）①由（1）可知，当时，．要证：函数在上具有性质S．即证：当时，．即证：当时，．令，，则，即，，，所以在上单调递增，．即当时，，得证．………………………11分②法一：由①得，当时，，所以当时，．下面先证明两个不等式：（ⅰ），其中；（ⅱ），其中．（ⅰ）令，，则，在上单调递增，所以，即当时，．（ⅱ）令，，则，所以在上单调递增，故，即当时，，故，得．………………………13分据不等式（ⅱ）可知