安徽师范大学附属中学2024届高三下学期最后一卷（三模）数学试题+答案

2024届安师大附中高三最后一卷模拟数学试题本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟2024年5月28日注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．四答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，且是复数z的共轭复数，则的值是（）A． B．3 C．5 D．92．设，则“”是“为的等比中项”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（）A．正方体各面所在平面将空间分成27个部分B．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行C．若空间中四条不同的直线满足，则D．若为异面直线，平面平面，且与相交，若直线满足则必平行于和的交线4．下列选项中，所得到的结果为4的是（）A．双曲线的焦距 B．的值C．函数的最小正周期 D．数据的下四分位数5．已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（）种A．186 B．264 C．284 D．3366．已知与直线交于、两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（）A． B． C． D．7．设，则（）A． B． C． D．8．已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（）A．1012 B．2024 C．-1012 D．-2024二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的为（）A．在回归模型的残差分析中，决定系数越接近1，意味着模型的拟合效果越好B．数据的标准差为，则数据的标准差为C．已知随机变量，若，则D．在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件10．已知，下面结论正确的是（）A．时，在上单调递增B．若，且的最小值为，则C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称11．已知、是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（）A．B．C．线段PQ的长度的最大值为D．当均不在轴上时，过点分别作曲线的两条切线与，且当时，与之间的距离记为，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出的展开式的第4项的系数：______．（用数字表示）13．在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则四面体的外接球的体积为______．14．已知实数，且满足，当取得最大值时，______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本大题满分13分）已知分别为三个内角的对边，且（1）求；（2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长．16．（本大题满分15分）如图，三棱锥中，平面平面，平面平面，平面平面，（1）求证：两两垂直；（2）若为中点，为中点，求与平面所成角的正弦值．17．（本大题满分15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100（1）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关：（2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率．（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为．事件“”的概率为，求使取得最大值时的值．参考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．（本大题满分17分）已知点是椭圆与抛物线的交点，且、分别为的左、右顶点．（1）若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程：（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于两点，与相交于两点，，若直线的斜率为1，求的值：（3）设直线，直线分别与直线交于两点，与的面积分别为，若的最小值为，求点的坐标．19．（本大题满分17分）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．（1）已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明．数列是一个“对数性凸数列”，且有；（2）若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：（3）设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证： 最后一卷数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．C 2．B 3、A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABC 10．CD 11．BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．-160 13． 14．7四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（1）由正弦定理有由化简得由有，可得故，则．（2）由有又可得，易得有正在中，．故的长为16（1）在上任取一点，作交于，作交于，由平面平面交于面，有面，又面有，同理，又由面中，可得面，则．同理可得，即两两垂直．（2）分别以DB，DC，DA所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系易得有设面的法向量，则由可取．则与平面所成角的正弦值为17．（1）：假设食堂就餐与性别无关由列联表可得所以依据小概率值的独立性检验，可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关．（2）记星期二选择了①号套餐为事件，选择②号套餐为，星期四选择了①号套餐为事件，选择②号套餐为，则，所以，所以．（3）依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率，则，所以，若取得最大值，则，即又且，所以．18．（1）由题意得，故，则，解得，故椭圆，因为，所以，所以，将其代入中，即，解得，故的准线方程为；（2）由题意得，解得，故，直线的方程为，联立得，，设，则，故，联立与得，，设，则，故，若方向相同，若方向相反，，所以；（3）由三点共线，可得，故同理，由三点共线，可得，则因为，所以，所以，又，故，因为，令，则，所以其中因为，所以的开口向下，对称轴为其中，故当时，取得最大值，最大值为，故的最小值为，令，解得，负值舍去，故，解得，又，故，则点的坐标为19．（1）法一：由得到，累乘法得到：法二：由得到；（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，所以，又，所以，显然，即不是的零点，又，令，则也有三个零点，即有三个零点，则有三个零点，所以有两个零点，所以同上有，故数列为一个“对数性凸数列”；（3）记．则欲证不等式可化归为，即．①由数列为对数性凸数列知，即．故再由，得故式①成立．从而，原不等式成立．