妙解高考数学填选压轴题专题57 一类过定点问题的不等式恒成立-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-19 · 6页 · 189.2 K

专题57一类过定点问题不等式成立【方法点拨】将恒成立问题转化为两函数的位置关系问题,难点在于发现两函数过定点.【典型题示例】例1已知,在上恒成立,则实数的取值范围为______.【答案】【分析】在上恒成立,即对于,两函数、的函数值异号,亦既是在此范围内,两函数的图象分别位于x轴的两侧,故将恒成立问题转化为了两函数的位置关系问题,再进一步发现两函数过定点(1,0),而函数含参,是二次函数,只需对的符号(即对称轴位置)及端点值进行讨论、限制即可.【解析】∵,∴在上恒成立,即在上恒成立设,易知,图象恒过点(1,0),下面对的符号进行分类讨论.(1)当时,如上图左中,的对称轴在y轴的左侧,在对称轴右侧单减且恒过点(1,0),故满足题意.(2)当时,易知满足题意.(3)当时,如上图右中,欲使在上恒成立只需,即,解之得,故.综上得,实数的取值范围为.例2设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=______________.【答案】【分析】本题解法较多,按照一般思路,则可分为以下两种情况:(A),无解;(B),无解.因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下图)我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x2-ax-1都过定点P(0,1).考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(,0),还可分析得:a>1;考查函数y2=x2-ax-1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,或者,舍去,得答案:.点评:本题的关键在于,一是将恒成立问题转化为利用“形”进一步转化为两函数的位置关系问题,二是发现两函数在x轴的右侧过定点.【巩固训练】1.对任意的,不等式恒成立,则实数的取值的集合是.2.对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是.3.已知不等式对于任意的恒成立,其中是整数,则的取值集合为__________.4.已知函数,,若对于任一实数,与至少有一个为正数,则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案与提示】1.【答案】【解析】设,因为恒过点(1,0),所以必有,解之得.2.【答案】【分析】考虑从“形”出发.设,易知,且函数横过点又,故在上增必有过所以,解之得又,所以.3.【答案】【解析】构造“形”易得,即∵是整数∴,或解之得:,或所以,故的取值集合为.4.【答案】B【解析】当时,显然不成立当时,因当即时结论显然成立;当时只要即可即则.

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