妙解高考数学填选压轴题专题43 相关点法确定圆的轨迹-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-19 · 9页 · 247.4 K

专题43相关点法确定圆的轨迹【方法点拨】1.双动点、一显一隐:已知条件中有两个动点,一个动点的轨迹明显易求,另一个隐藏极深难求.2.建立关联:即建立双动点的关系,最好以向量的形式出现,从而便于使用坐标形式.3.消显现隐:利用显动点的轨迹方程,通过代入,从而求出隐动点的轨迹方程.【典型题示例】例1在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),B,C是圆O:x2+y2=4上的两动点,且,若圆O上存在一点P使得(),则正数的取值范围是.【答案】[4,6]【分析】BC是定长弦,动中取静,直接取BC的中点为D,易求出点D的轨迹方程是x2+y2=1,再求另一动点P的轨迹方程,利用m的几何意义求出其取值范围.【解析】设BC的中点为D,则,故点D的轨迹方程是x2+y2=1∵D为BC的中点∴∴设,∴,故有又∵在圆O上∴,故有这里的几何意义是点到点A(3,4)的距离又∵点D的轨迹方程是x2+y2=1∴点到点A(3,4)距离的最大值是6,最小值是4∴的取值范围是[4,6].例2已知AB是圆O:x2+y2=2的一条弦,且,M是AB的中点,若动点P(t,t+2),Q(m,-2),使得四边形PMOQ为平行四边形,则实数m的最大值是.【答案】-3【解析】易得点M的轨迹方程是∵四边形PMOQ为平行四边形∴设∴,又∵在圆上∴,可看作动点与动点距离的平方是∴实数m的最大值是-3.例3在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-1)2=1及点,设点P圆C上的一动点,在△ACP中,若∠ACP的平分线与AP相交于Q(m,n),则的取值范围是.【答案】【解析】由角平分线性质定理得∴设∴,故有又∵在圆C上∴,即故点Q的轨迹是以为圆心为半径的圆∵的几何意义是点Q到坐标原点的距离∴的最大值、最小值分别是、故的取值范围是.【巩固训练】1.若点在圆上运动,点在轴上运动,定点,则的最小值为.2.在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆C:(x+4)2+(y-a)2=16上两个动点,且AB=2eq\r(,11).若直线l:y=2x上存在唯一的一个点P,使得eq\o(PA,\d\fo1()\s\up7(→))+eq\o(PB,\d\fo2()\s\up7(→))=eq\o(OC,\d\fo2()\s\up7(→)),则实数a的值为.3.已知是边长为的等边三角形,点是以为圆心的单位圆上一动点,点满足,则的最小值是.4.在平面直角坐标系中,已知点,、为圆上的两动点,且,若圆上存在点,使得,则的取值范围为________.5.已知点D为圆O:x2+y2=4的弦MN的中点,点A的坐标为(1,0),且,则的最小值为.6.在平面直角坐标系中,已知点分别为轴,轴上一点,且,若点,则的取值范围是.7.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M,N分别是边BC,CD上的两个动点,且BM+DN=MN,则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最小值是________.8.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为.9.已知A,B是圆C1:x2+y2=1上的动点,AB=eq\r(3),P是圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则|eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范围是.10.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,则点P的轨迹是.【答案或提示】1.【答案】3【解析】设的中点为,,则,所以∵点在圆上∴,即它表示以为圆心,为半径的圆∴∵为的中点∴故的最小值为3.2.【答案】2或-18【解析一】设AB的中点为M(x0,y0),P(x,y),则由AB=2eq\r(11),得CM=eq\r(16-11)=eq\r(5),即点M的轨迹为(x0+4)2+(y0-a)2=5.又因为eq\o(PA,\s\up7(―→))+eq\o(PB,\s\up7(―→))=eq\o(OC,\s\up7(―→)),所以eq\o(PM,\s\up7(―→))=eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(―→)),即(x0-x,y0-y)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,\f(a,2))),从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=x-2,,y0=y+\f(a,2),))则动点P的轨迹方程为(x+2)2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(a,2)))2=5,又因为直线l上存在唯一的一个点P,所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切,则丨−4−a2丨−12+22=eq\r(5),解得a=2或a=-18.【解析二】由题意,圆心C到直线AB的距离d=eq\r(16-11)=eq\r(5),则AB中点M的轨迹方程为(x+4)2+(y-a)2=5.由eq\o(PA,\s\up7(―→))+eq\o(PB,\s\up7(―→))=eq\o(OC,\s\up7(―→)),得2eq\o(PM,\s\up7(―→))=eq\o(OC,\s\up7(―→)),所以eq\o(PM,\s\up7(―→))∥eq\o(OC,\s\up7(―→)).如图,连结CM并延长交l于点N,则CN=2CM=2eq\r(5).故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N,使得CN=2eq\r(5),所以点C到直线l的距离为丨2(−4−a2)丨−12+22=2eq\r(5),解得a=2或a=-18.3.【答案】 【解析】以点为坐标原点,为轴正半轴,使得落在第一象限,建立平面直角坐标系设,则由得:,故∵点在单位圆上∴即,点的轨迹是以为圆心,为半径的圆又,所以的最小值是.4.【答案】【分析】取中点为,连接,得到,由得到,再由、为圆上的两动点,且,得到,设,求出点的轨迹,再由点与圆位置关系,求出的取值范围,即可求出结果.【解析】取中点为,连接,则,又圆上存在点,使得,所以,因此,即;因为、为圆上的两动点,且,所以,设,则,即即为动点的轨迹;所以表示圆上的点与定点之间的距离,因此,即.即.故答案为:5.【答案】【解析】∵∴,设,则,即设(其中)则所以(当时,“=”成立).6.【答案】7.【答案】8eq\r(2)-88.【答案】3eq\R(,2)9.【答案】10.【答案】圆:(x+3)2+(y-4)2=4,除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(9,5),\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(21,5),\f(28,5)))【解析】如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2),\f(y,2))),线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0-3,2),\f(y0+4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分,故eq\f(x,2)=eq\f(x0-3,2),eq\f(y,2)=eq\f(y0+4,2).从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=x+3,y0=y-4)).N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(9,5),\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(21,5),\f(28,5)))(点P在直线OM上的情况).

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