妙解高考数学填选压轴题专题48 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比-妙解高考数学填选压轴题

专题48椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1.设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.2.长短弦公式:如下图,长弦,短弦（其中是焦参数，即焦点到对应准线的距离，是直线与轴的夹角，而非倾斜角）.说明：（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.（2）双曲线也有类似结论.FxABO【典型题示例】例1已知椭圆方程为，AB为椭圆过右焦点F的弦，则的最小值为 ．【答案】【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为如图，过作于，则，①设的倾斜角为，则，②联立①②，可得，同理可得，．令，，，．．当且仅当，即时上式取等号．的最小值为．故答案为：．例2（2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且eqcosθ＝\f(1,4).若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为A．4B．eq\r(,15)C．eq\f(3,2)D．2【答案】D【解析】，，．例3已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B两点．若eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，则k＝________.【答案】eq\r(2)【解析】如右图，设l为椭圆的右准线，过A、BxDFBBBAyOB/A/分别向l作垂线AA/、BB/，A/、B/分别是垂足，过B作AA/垂线BD，D是垂足设BF=t，AF=3t则，中，故又k>0，所以.【巩固训练】1.设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的离心率为________．2.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．3.已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于．4.已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为 A．， B． C．， D．5.设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率等于()A. B. C. D.6.设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为__________．7.抛物线y2=4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若BA=4BF，则△OAB（O为坐标原点）的面积为______．【答案与提示】1.【答案】【解析】如右图，设直线AB的倾斜角为则，所以由|AF1|＝3|F1B|、长短弦公式得：，化简得：代入得：，即解之得：（负值已舍），所以.2.【答案】eq\f(\r(3),3)3.【答案】4.【答案】C【解析】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，，由，且，，由，所以，整理得，其中，，由，不重合，所以，，解得，所以，椭圆的离心率的取值范围，．5.【答案】D【解析】设双曲线的右焦点，则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是.由，得，由，得，所以，.由，得，则，即，则，则，故选D.6.【答案】【解析】由可得，设，过分别做准线的垂线，垂足为，由双曲线定义得，，过做垂直于垂足，因为斜率为，所以在中，，可得，即，解得，的离心率为，故答案为.7.【答案】433【解析】由题意可知：AF=3BF，结合焦半径公式有：p1−cosα=3p1+cosα，解得：cosα=12,α=π3，故直线AB的方程为：y=3(x−1)，与抛物线方程联立可得：3y2−43y−12=0，则y1−y2=4332−4×(−4)=83，故△OAB的面积S=12×OF×y1−y2=12×1×83=433.