妙解高考数学填选压轴题专题25 奔驰定理与三角形的四心-妙解高考数学填选压轴题

专题25奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：（1）是的重心.（2）是的内心.（3）是的外心.（4）是的垂心.3.需记忆三角形的四心与向量关系：（1）是重心，是平面内任一点，是重心．（2）是垂心，若是垂心，则．（3）是外心，若是外心，则．若是外心，则对于平面内任意点，均有：．（4）是内心，是内心，是内心．4.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.5.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．【典型例题】例1在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________．【答案】或【解析】由正弦定理得，所以，即，由条件得，联立解得，或.当时，由，得，即，所以.①同理，由，得，即，即，所以.②联立①②解得.故.当时，同理可得③，④解得.例2为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（）A． B． C． D．【答案】【解析一】由，，，，如图设，即是的重心，同理可得，，所以．故选：．【解析二】由，，，，由奔驰定理得：．故选：．例3在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=b=4，c=6，I是△ABC中内切圆的圆心，若，则．【答案】【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）易求得，而，所以另一方面，对上式两边同时作数量积得：，易知，，所以，所以.【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为整理为：由奔驰定理得解之得.点评：解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例4已知是的重心，且满足，则=.【答案】【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵是的重心∴∴∴由正弦定理，由余弦定理，∵，∴.例5设H是△ABC的垂心，若，则的值为（）A．B．C． D．【答案】D【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得设，，由代入得，解之得所以又因为，所以.例6已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（）A.B.直线必过边中点C.D.若，且，则【答案】ACD【解析】对于A，插入点A，，所以；对于B，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；对于C，由奔驰定理知；对于D，由得，两边平方得.例7在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为.【答案】【解析】∵∴，即∵，∴∵，∴对两边同时点乘得：∵，∴，即由正弦定理知∴.【巩固练习】1.已知P是△ABC所在平面内一点，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3．点P在△ABC内部，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶34．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)5.设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若则（）A．B．C． D．6.已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（）A． B． C．2 D．37.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=5，b=12，c=13，I是△ABC内切圆的圆心，若，则=________．8.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，I是△ABC内切圆的圆心，若，则=________．9.已知是锐角的外接圆圆心，，则实数的值为__________．10.已知是所在平面内一点，且满足，则=.11.在中，，点分别为的重心和外心，且，则的形状是()A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能12.已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率为____________.13.(多选题)对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的有（）A.B.C.过点的直线交，于，，若，，则D.与共线14.设H是△ABC的垂心，若，则的值为.15.设P是△ABC的外心，且，（），若CA=2CB，则的值为.16.在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是()A.B.C.D.17.已知点G是的重心，且，则的值为.18.已知点G是的重心，且，，则的最大值为.19.在中，，已知点O、G分别是的外心、重心，且，则面积的最大值为.20.已知为圆上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围为A．B．C．D．【答案与提示】1.【答案】 D【解析】 由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，可得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→))，同理可证eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴P是△ABC的垂心.2.【答案】C【解析】 设BC的中点为M，则eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→)).∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.3.【答案】 C【解析】 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.4.【答案】 A【解析】 根据奔驰定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A.5.【答案】A【分析】根据奔驰定理的内心恒等式，利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值，进而得解.【解析】O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a则，所以，所以，所以.又，所以，所以.6.【答案】C【解析】由奔驰定理得，解之得，选C．7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】11.【答案】B【解析】在中，点分别为的重心和外心，取的中点，连接，则三点共线，如图所示，.，，，，即，.又，.由余弦定理，得，，是钝角三角形.故选B.12.【答案】【解析】因为，所以.如图，在上取一点，使得，连接，则，则点为上靠近点的三等分点，所以，所以.不妨设，则，则，所以，设，由余弦定理得，即，得，所以.13.【答案】ACD【解析】对于A，由垂径定理可知，外心在上的射影为线段的中点，所以，故A正确；对于B，若，由，则，即，同理，，即点为的垂心.又为的垂心，则有，故B不正确；对于C，因为、、三点共线，故存在实数，使得，又为的重心，故，所以，则，故C正确；对于D，因为，所以与垂直，又为的垂心，则与垂直，所以与共线，故D正确，故选ACD.14.【答案】【解析一】（利用三点共线）∵如图，取的中点为，则，故H、C、D三点共线，∵H是△ABC的垂心∴CD⊥AB在Rt△ADC中，①另一方面，同理得②②联立得.【解析二】（抓住垂心概念，充分利用垂直，点乘，三化二）对两边点乘得∵∴，①同理，对两边点乘得∵∴，②.由①②联立得15.【答案】【解析一】，取，则，所以E、F、P三点共线又F是弦BC的中点，故EF⊥BC所以.【解析二】（点乘作数量积）对两边点乘得，∵CA=2CB∴①对两边点乘得，∵CA=2CB∴②16.【答案】C【解析】因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有：，令与重合，及得，∵，∴．故选C．17.【答案】【解析】（其中是边BC的中点），由中线长定理得，.18.【答案】【解析】取边BC的中点为，则，由中线长定理得，即，故（当且仅当时，“=”成立）所以的最大值为.19.【答案】【解析】，，所以，由余弦定理得（当且仅当b=c时，“=”成立）（当且仅当b=c时，“=”成立）所以面积的最大值为.20.【答案】D【解析】因为，所以，由此可知，向量与向量，的一端三点共线，由图象及平面向量共线定理易知的取值范围为．