抛物线必会十大基本题型专题07以抛物线为情境的定点问题——抛物线必会十大基本题型讲与练(解析版)

2023-11-19 · 22页 · 1.4 M

抛物线必会十大基本题型讲与练07以抛物线为情景的定点问题典例分析类型一、以向量为情景的线过定点问题1.过抛物线C:的准线上任意一点作抛物线的切线,切点为,若在轴上存在定点,使得恒成立,则点的坐标为(       )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设切点,点,联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得,将问题转化为对任意点恒成立,可得,解出,从而求出答案.【详解】设切点,点.由题意,抛物线C的准线,且由,得,则直线的方程为,即,联立令,得.由题意知,对任意点恒成立,也就是对任意点恒成立.因为,,则,即对任意实数恒成立,所以,即,所以,2.已知A、B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点,则“=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的( )A.充分非必要条件 B.充要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】设出A、B的坐标和直线AB的方程,将直线方程代入抛物线方程并化解,进而求出,然后结合根与系数的关系将化简,最后根据逻辑关系得到答案.【详解】根据题意,A、B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB方程为x=my+b,将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x,可得y2﹣4my﹣4b=0,则y1+y2=4m,y1y2=﹣4b,则=x1x2+y1y2=.若,则b=4,则直线AB的方程为x=my+4,直线AB恒过定点(4,0);若直线AB恒过定点(4,0),则b=4,于是.所以是“直线AB恒过定点(4,0)”的充要条件.3.已知抛物线的方程为:,A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且其中O为坐标原点,则直线AB过定点M的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的方程为,联立方程组得到,利用根与系数的关系求得,进而求出m的值,得到直线的方程,进而得解.【详解】设直线AB的方程为,点,,直线AB与x轴的交点为,联立方程组,整理得,可得,因为其中O为坐标原点,所以,又因为,所以可得,因为点A,B位于x轴的两侧,所以或(舍去),可得,解得,所以,所以直线AB经过定点.类型二、以斜率为情景的线过定点问题1.已知直线l与抛物线交于不同的两点A,B,O为坐标原点,若直线的斜率之积为,则直线l恒过定点(       )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出直线方程,联立抛物线方程,得到,进而得到的值,将直线的斜率之积为,用A,B点坐标表示出来,结合的值即可求得答案.【详解】设直线方程为,联立,整理得:,需满足,即,则,由,得:,所以,即,故,所以直线l为:,当时,,即直线l恒过定点,2.已知抛物线的焦点为F,A,B为抛物线C上在第一象限的两点,记直线与直线的斜率分别为与,且,则直线恒过定点___________.【答案】【解析】【分析】设出直线的方程,联立抛物线求得,由求得,即可求出定点坐标.【详解】易知直线的斜率必存在且不为0,设直线,联立抛物线得,,,又,则,,,则,又,解得,故直线,恒过定点.类型三、以角为情景的线过定点问题1.已知点,设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、,若轴是的角平分线,则直线一定过点(       )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线为,与抛物线方程联立并整理得,设,由轴是的角平分线有,然后求解直线过定点.【详解】根据题意,直线的斜率不等于零,且直线过的定点应该在轴上,设直线为,与抛物线方程联立,消元得,设,由轴是的角平分线,∴且,,∴、的斜率互为相反数,即,整理得,即,∴,解得,故直线过定点.2.抛物线方程为,任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A,B,已知x轴上存在一点N(不同于点M),且满足,则点N的坐标为(       )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设该直线方程为,当时,联立消去,得,设则由化简计算可得,即可求得时,可验证依然成立.【详解】直线过且斜率不为0,设该直线方程为,当时,联立消去,得,恒成立,设则,即即,则,即则,即所以,即当时,两点关于轴对称,显然恒成立.综上所述,.3.已知抛物线,过点引抛物线的两条弦、,分别交抛物线于两点,且,则直线恒过定点坐标为(       )A. B. C. D.【答案】A【解析】设出,的坐标,利用垂直建立等式关系,然后再利用点,的坐标,表示出直线的方程即可求解.【详解】设,,由可得:,化简可得:,直线斜率为,所以,即,,令可得,所以直线直线恒过定点,故选:A【点睛】本题解题的关键是设,,利用,得出斜率乘积为,可得,表示出直线的方程即可求出定点.4.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,过坐标原点作两条互相垂直的射线,,与分别交于,则直线过定点(       )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程可求得坐标,由此求得抛物线方程;设,与抛物线方程联立可得韦达定理的形式,根据可得,由此构造方程求得,根据直线过定点的求法可求得定点.【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为,又抛物线焦点,,解得:,则抛物线的方程为,由题意知:直线斜率不为,可设,由得:,则,即,设,,则,,,,,解得:或;又与坐标原点不重合,,,当时,,直线恒过定点.【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解,求解此类问题的基本思路如下:①假设直线方程,与抛物线方程联立,整理为关于或的一元二次方程的形式;②利用求得变量的取值范围,得到韦达定理的形式;③利用韦达定理表示出已知中的等量关系,代入韦达定理可整理得到变量间的关系,从而化简直线方程;④根据直线过定点的求解方法可求得结果.类型四、有关线过定点的探索与证明1.已知抛物线的焦点为F,点P在抛物线E上,点P的纵坐标为1,且,A,B是抛物线E上异于O的两点(1)求抛物线E的标准方程;(2)若直线OA,OB的斜率之积为,求证:直线AB恒过定点.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)由抛物线的定义(或焦半径公式)求得得抛物线方程;(2)设,设方程为,代入抛物线方程整理后应用韦达定理得,代入得出的关系,然后观察直线方程得定点坐标.【解析】(1)由题意,,抛物线方程为;(2)设,当直线斜率存在时,设方程为,由得,,即,,,,,,所以直线方程为,过定点;当直线斜率不存在时,直线方程为,过点;综上,直线恒过定点.2.已知抛物线过点,O为坐标原点.(1)求抛物线的方程;(2)直线l经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,若弦AB的长等于6,求的面积;(3)抛物线上是否存在异于O,M的点N,使得经过O,M,N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在,坐标为【分析】(1)点坐标代入抛物线方程可得答案;(2)设直线l的方程,与抛物线方程联立,韦达定理代入,得到解得,求出原点O到直线l距离,可得的面积;(3)假设抛物线上存在点,设经过O,M,N三点的圆的方程为,代入三点坐标可得①,求出抛物线在点处的切线的斜率,直线NC的斜率,根据乘积为可得②,由①②消去E可得答案.【解析】(1)抛物线过点,,抛物线方程.(2)设直线l的斜率为k,则,由,得,∵直线l与抛物线有两个交点A,B,所以①,∴设,则可得,,于是,由②,由①②解得,直线l的方程为,原点O到直线l距离,的面积为.(3)已知O,M的坐标分别为,,抛物线方程,假设抛物线上存在点(且),使得经过O,M,N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线.设经过O,M,N三点的圆的方程为,则,整理得①,∵函数的导数为,∴抛物线在点处的切线的斜率为,∴经过O,M,N三点的圆C在点处的切线斜率为,∵,∴直线NC的斜率存在.∵圆心的坐标为,∴,即②,∵,由①②消去E,得,即.∵,∴,故满足题设的点N存在,其坐标为.巩固练习1.已知直线与抛物线:交于,两点,为坐标原点,若直线,的斜率,满足,则直线恒过定点(       )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设直线的方程为,联立抛物线的方程,由韦达定理可得,再结合,解得,进而可得答案.【详解】设,,由直线,的斜率,满足,∴,即,即,设直线的方程为,联立抛物线的方程得:,∴,即,解得,∴直线恒过点.2.已知抛物线,其准线为l,则过l上任意一点作C的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点(       )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设,写出AP的直线方程,根据点P在直线AP上,化简得到,进而得到是方程的两个根,然后写出直线AB的方程,将韦达定理代入求解.【详解】设,因为,所以,即,所以AP的直线方程为:,因为点P在直线AP上,所以,即,同理,所以是方程的两个根,且,,所以直线AB的方程为,即,所以直线AB过定点,3.已知直线与抛物线交于、两点且两交点纵坐标之积为,则直线恒过定点(       )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知直线不与轴垂直,可设的方程为,设点、,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求出的值,即可得解.【详解】若直线与轴垂直,则直线与抛物线只有一个公共点,不合乎题意.设直线的方程为,设点、,联立,可得,由韦达定理可得,解得.所以直线的方程为,恒过定点.4.已知直线过抛物线的焦点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点,则实数的值为(       )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设抛物线的准线与x轴交于,过点A,B分别作准线的垂线,垂足为M,N,可证得,有,所以点与点C重合,故得解.【详解】设抛物线的准线与轴的交点为,过点分别作准线的垂线,垂足分别为.因为,所以,又因为,所以,所以,即,因为点关于轴的对称点为,所以点与点重合,所以.5.已知抛物线,过其焦点作抛物线相互垂直的两条弦,,设,的中点分别为,,则直线与轴交点的坐标是(       )A. B. C. D.不能确定【答案】B【解析】【分析】由题意设、,,,联立抛物线方程,结合韦达定理知、,写出直线的方程,即可求与轴交点的坐标.【详解】由题意知:,存在且,设,,∴若,联立,,则,,即,若,联立,,则,,即∴直线,整理得,∴时,,6.抛物线的焦点为.对于上一点,若的准线上只存在一个点,使得为等腰三角形,则点的横坐标为(       )A.2 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由抛物线的定义可得准线垂直时,为等腰三角形,线段的垂直平分线交准线于点此时为等腰三角形,所以点与重合,即可得为等边三角形,利用即可求解.【详解】所以准线垂直时,由抛物线的定义可得,此时为等腰三角形,作线段的垂直平分线交准线于点,则,此时为等腰三角形,因为若的准线上只存在一个点,使得为等腰三角形,所以与重合,所以,所以,所以为等边三角形,,,所以,整理可得:,解得:或(舍)所以则点的横坐标为,7.已知、B为抛物线上异与原点O的两动点,以AB为直径的圆过点O,则直线AB是否过定点(       )A.不过定点 B.不能确定 C.过定点(4,0); D.过定点(1,0)【答案】C【解析】【分析】设直线的方程为:,,,,.联立直线方程与抛物线方程,化为关于的一元二次方程,由韦达定理结合可得,由此可得直线恒过定点.【详解】设直线的方程为:,,,,.联立,得,,.以为直径的圆恒过原点,,又,,,化为,,得.直线的方程为:.令,可得.因此直线恒过定点.【点睛】证明直线过定点,一般有两种方法.(1)特殊探求,一般证明:即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,然后证明该定点在该直线或该曲线上(定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立).(2)分离参数法:一般可以根据需要选定参数,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式,(一般地,为关于的二元一次关系式)由上述原理可得方程组,从而求得该定点.8.抛物线内接(为坐标原点)的斜边过定点(       ).A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质,通过设直线方程与抛物线方程联立,求出点、的坐标,再求出直

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