抛物线必会十大基本题型专题07以抛物线为情境的定点问题——抛物线必会十大基本题型讲与练（解析版）

抛物线必会十大基本题型讲与练07以抛物线为情景的定点问题典例分析类型一、以向量为情景的线过定点问题1．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案．【详解】设切点，点．由题意，抛物线C的准线，且由，得，则直线的方程为，即，联立令，得．由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立．因为，，则，即对任意实数恒成立，所以，即，所以，2．已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（ ）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】设出A、B的坐标和直线AB的方程，将直线方程代入抛物线方程并化解，进而求出，然后结合根与系数的关系将化简，最后根据逻辑关系得到答案.【详解】根据题意，A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB方程为x＝my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，则＝x1x2+y1y2＝.若，则b=4，则直线AB的方程为x＝my+4，直线AB恒过定点（4，0）；若直线AB恒过定点（4，0），则b=4，于是.所以是“直线AB恒过定点（4，0）”的充要条件.3．已知抛物线的方程为：，A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且其中O为坐标原点，则直线AB过定点M的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】设直线AB的方程为，联立方程组得到，利用根与系数的关系求得，进而求出m的值，得到直线的方程，进而得解．【详解】设直线AB的方程为，点，，直线AB与x轴的交点为，联立方程组，整理得，可得，因为其中O为坐标原点，所以，又因为，所以可得，因为点A，B位于x轴的两侧，所以或（舍去），可得，解得，所以，所以直线AB经过定点．类型二、以斜率为情景的线过定点问题1．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.【详解】设直线方程为，联立，整理得：，需满足，即，则，由，得：，所以，即，故，所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，2．已知抛物线的焦点为F，A，B为抛物线C上在第一象限的两点，记直线与直线的斜率分别为与，且，则直线恒过定点___________.【答案】【解析】【分析】设出直线的方程，联立抛物线求得，由求得，即可求出定点坐标.【详解】易知直线的斜率必存在且不为0，设直线，联立抛物线得，，，又，则，，，则，又，解得，故直线，恒过定点.类型三、以角为情景的线过定点问题1．已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、，若轴是的角平分线，则直线一定过点（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设直线为，与抛物线方程联立并整理得，设，由轴是的角平分线有，然后求解直线过定点．【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，且直线过的定点应该在轴上，设直线为，与抛物线方程联立，消元得，设，由轴是的角平分线，∴且，，∴、的斜率互为相反数，即，整理得，即，∴，解得，故直线过定点.2．抛物线方程为，任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A，B，已知x轴上存在一点N（不同于点M），且满足，则点N的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设该直线方程为，当时，联立消去，得，设则由化简计算可得，即可求得时，可验证依然成立.【详解】直线过且斜率不为0，设该直线方程为，当时，联立消去，得，恒成立，设则，即即，则，即则，即所以，即当时，两点关于轴对称，显然恒成立.综上所述，.3．已知抛物线，过点引抛物线的两条弦、，分别交抛物线于两点，且，则直线恒过定点坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设出，的坐标，利用垂直建立等式关系，然后再利用点，的坐标，表示出直线的方程即可求解.【详解】设，，由可得：，化简可得：，直线斜率为，所以，即，，令可得，所以直线直线恒过定点，故选：A【点睛】本题解题的关键是设，，利用，得出斜率乘积为，可得，表示出直线的方程即可求出定点.4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程可求得坐标，由此求得抛物线方程；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据可得，由此构造方程求得，根据直线过定点的求法可求得定点.【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，，解得：，则抛物线的方程为，由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，即，设，，则，，，，，解得：或；又与坐标原点不重合，，，当时，，直线恒过定点.【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.类型四、有关线过定点的探索与证明1．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的纵坐标为1，且，A，B是抛物线E上异于O的两点(1)求抛物线E的标准方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB恒过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】（1）由抛物线的定义（或焦半径公式）求得得抛物线方程；（2）设，设方程为，代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，代入得出的关系，然后观察直线方程得定点坐标．【解析】(1)由题意，，抛物线方程为；(2)设，当直线斜率存在时，设方程为，由得，，即，，，，，，所以直线方程为，过定点；当直线斜率不存在时，直线方程为，过点；综上，直线恒过定点.2．已知抛物线过点，O为坐标原点.(1)求抛物线的方程；(2)直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB的长等于6，求的面积；(3)抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，坐标为【分析】（1）点坐标代入抛物线方程可得答案；（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，韦达定理代入，得到解得，求出原点O到直线l距离，可得的面积；（3）假设抛物线上存在点，设经过O，M，N三点的圆的方程为，代入三点坐标可得①，求出抛物线在点处的切线的斜率，直线NC的斜率，根据乘积为可得②，由①②消去E可得答案.【解析】(1)抛物线过点，，抛物线方程.(2)设直线l的斜率为k，则，由，得，∵直线l与抛物线有两个交点A，B，所以①，∴设，则可得，，于是，由②，由①②解得，直线l的方程为，原点O到直线l距离，的面积为.(3)已知O，M的坐标分别为，，抛物线方程，假设抛物线上存在点（且），使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线.设经过O，M，N三点的圆的方程为，则，整理得①，∵函数的导数为，∴抛物线在点处的切线的斜率为，∴经过O，M，N三点的圆C在点处的切线斜率为，∵，∴直线NC的斜率存在.∵圆心的坐标为，∴，即②，∵，由①②消去E，得，即.∵，∴，故满足题设的点N存在，其坐标为.巩固练习1．已知直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则直线恒过定点（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设直线的方程为，联立抛物线的方程，由韦达定理可得，再结合，解得，进而可得答案．【详解】设，，由直线，的斜率，满足，∴，即，即，设直线的方程为，联立抛物线的方程得：，∴，即，解得，∴直线恒过点．2．已知抛物线，其准线为l，则过l上任意一点作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设，写出AP的直线方程，根据点P在直线AP上，化简得到，进而得到是方程的两个根，然后写出直线AB的方程，将韦达定理代入求解.【详解】设，因为，所以，即，所以AP的直线方程为：，因为点P在直线AP上，所以，即，同理，所以是方程的两个根，且，，所以直线AB的方程为，即，所以直线AB过定点，3．已知直线与抛物线交于、两点且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分析可知直线不与轴垂直，可设的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出的值，即可得解.【详解】若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立，可得，由韦达定理可得，解得.所以直线的方程为，恒过定点.4．已知直线过抛物线的焦点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则实数的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设抛物线的准线与x轴交于，过点A，B分别作准线的垂线，垂足为M，N，可证得，有，所以点与点C重合，故得解.【详解】设抛物线的准线与轴的交点为，过点分别作准线的垂线，垂足分别为.因为，所以，又因为，所以，所以，即，因为点关于轴的对称点为，所以点与点重合，所以.5．已知抛物线，过其焦点作抛物线相互垂直的两条弦，，设，的中点分别为，，则直线与轴交点的坐标是（       ）A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】【分析】由题意设、，，，联立抛物线方程，结合韦达定理知、，写出直线的方程，即可求与轴交点的坐标.【详解】由题意知：，存在且，设，，∴若，联立，，则，，即，若，联立，，则，，即∴直线，整理得，∴时，，6．抛物线的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（       ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】由抛物线的定义可得准线垂直时，为等腰三角形，线段的垂直平分线交准线于点此时为等腰三角形，所以点与重合，即可得为等边三角形，利用即可求解.【详解】所以准线垂直时，由抛物线的定义可得，此时为等腰三角形，作线段的垂直平分线交准线于点，则，此时为等腰三角形，因为若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，所以与重合，所以，所以，所以为等边三角形，，，所以，整理可得：，解得：或（舍）所以则点的横坐标为，7．已知、B为抛物线上异与原点O的两动点，以AB为直径的圆过点O，则直线AB是否过定点（       ）A．不过定点 B．不能确定 C．过定点（4，0）； D．过定点（1，0）【答案】C【解析】【分析】设直线的方程为：，，，，．联立直线方程与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，由韦达定理结合可得，由此可得直线恒过定点．【详解】设直线的方程为：，，，，．联立，得，，．以为直径的圆恒过原点，，又，，，化为，，得．直线的方程为：．令，可得．因此直线恒过定点．【点睛】证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.8．抛物线内接（为坐标原点）的斜边过定点（       ）.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质，通过设直线方程与抛物线方程联立，求出点、的坐标，再求出直