高考数学专题08以双曲线为情境的几何证明（解析版）

双曲线必会十大基本题型讲与练08以双曲线为情境的几何证明典例分析类型一：有关直线位置关系的证明1．在平面直角坐标系中，已知双曲线．（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求M点的坐标；（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）求出双曲线的左焦点的坐标，设，利用求出的范围，推出的坐标；（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积；（3）设直线PQ的方程为，通过直线PQ与已知圆相切，得到，联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求解，进而证明.【详解】（1）双曲线，左焦点，设，则．由M是右支上一点知，∴，得．∴．（2）左顶点，渐近线方程：．过A点与渐近线平行的直线方程为：，即．解方程组得所求平行四边形的面积为．（3）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，∴，即．（*）由得，设、，由韦达定理得．∴，由（*）式知，∴．2．已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A（点A在第一象限），B两点，且.(1)求C的标准方程.(2)已知l为C的准线，过F的直线交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设出抛物线的方程，根据题意将代入，可得出答案.（2）先求出点的坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，得出韦达定理，写出直线AM的方程，求出直线AM与准线的交点和直线BN与准线的交点，再证明交点的纵坐标相同即可.【解析】(1)由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，则抛物线开口向右.设抛物线C的标准方程为，则.由题意轴，则点的横坐标为将代入，可得，由，则，所以抛物线C的标准方程为.(2)证明：由（1）可知，.设直线的方程为，联立，则.设，，则，.直线AM的方程为，，令，解得；所以直线AM与准线的交点为直线BN的方程为，即，令，解得.所以直线BN与准线的交点为因为，即所以直线AM，BN和l相交于一点.类型二：有关线段长度的证明1．已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，双曲线C与抛物线E交于A，B两点，且（O为坐标原点）．(1)求双曲线C的离心率．(2)过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：．【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得，进而得，再结合双曲线的定义得，再求离心力即可；（2）结合（1）得，设直线MN的方程为，，，，进而联立方程，结合韦达定理得MN的垂直平分线的方程为，P的坐标为，最后结合弦长公式求解即可.【解析】(1)根据题意，A，B关于x轴对称，，所以．设A的横坐标为，则，所以，所以．所以，由双曲线的定义知，解得．因为，所以双曲线C的离心率．(2)证明：由（1）知，，，所以双曲线C的方程为．设直线MN的方程为，，，，联立方程组，得，则，．因为，，因为过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，所以，解得，所以MN的中点坐标为．因为MN的垂直平分线的方程为，所以P的坐标为，所以．因为，所以．2．已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，点，且直线与直线交于点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由双曲线的性质得到渐近线方程，利用两直线垂直和点到直线的距离公式建立方程，再结合基本量之间的关系即可得到，值，从而得到双曲线的标准方程；（2）先考虑直线的斜率不存在的情况，根据相关点的坐标得到两直线的方程，从而解得的坐标，进而利用点在的垂直平分线上得到结果，再考虑直线的斜率存在的情况，利用直线与双曲线的位置关系建立方程，结合根与系数的关系探究点的横坐标，从而得到结果．【详解】（1）由题知双曲线的渐近线方程为，∵双曲线的一条渐近线与直线：垂直，∴，即．设，∴，∴．∵，∴，∴，，故双曲线的标准方程为．（2）由（1）可得，，．①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，结合双曲线的方程可得，若，，则直线的方程为，直线的方程为，由直线与直线的方程可得，∴点在直线上，又的垂直平分线为直线，∴．若，，则直线的方程为，直线的方程为，由直线与直线的方程可得，∴点在直线上，又的垂直平分线为直线，∴．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由题可知，联立，得，消去可得，由直线与双曲线有两个交点，得，，．∵直线的方程为，直线的方程为，∵，两边同时平方得，又，，∴，∴，解得或．由题易知，当时，，矛盾，舍去，故，即点在直线上，又的垂直平分线为直线，∴．【点睛】本题是综合性题目，属于课程学习情境和探索创新情境，具体是数学运算学习情境和数学探究情境．解题的关键是当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，然后将直线与双曲线的方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，，，再表示出直线与直线的方程，从而可得，然后通过计算，可求出点的坐标，进而可证得，本题考查逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题类型三：有关角度的证明1．已知曲线上任意一点满足方程.(1)求曲线的方程；(2)已知定点，过点的直线与曲线交于两点.证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据方程表示含义和双曲线定义可知曲线为双曲线的右半支，结合实轴和焦点坐标可得方程；（2）设，与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，将韦达定理代入即可证得，即，由此可得结论.【解析】(1)方程表示到的距离与到的距离之差为，由双曲线定义可知：曲线是以为实轴长，和为焦点的双曲线的右半支，即，，，曲线的方程为：；(2)设，，直线的方程：，由知其渐近线方程为：，曲线与曲线交于两点，，由得：，，又，，，，，即，.2．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝．（1）求E的方程；（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先将直线的方程与渐近线方程联立求出点Q的坐标，求出PF的长，从而可求出|FQ|，再由|FQ|＝，可求出的值，再结合离心率可求出的值，从而可求出E的方程；（2）设过点F得直线方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，然后表示出kPA，kPB，相加化简，若等于零，可得PF平分∠APB【详解】（1）不妨设直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，则由得yQ＝，又PF＝c﹣＝，∴|FQ|2＝（）2+（）2＝b2＝3，∴，又离心率e＝2，∴，∴a＝1．∴E的方程为：．（2）设过点F得直线方程为：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，则，，∵过F的直线交E的右支于A，B两点，∴y1y2＜0，可得﹣＜m＜，又P（，0），∴kPA+kPB＝＝，∴＝2my1y2+＝，∴kPA+kPB＝0，∴PF平分∠APB．类型四：有关三点共线的证明1．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意得，再根据即可求得答案；（2）由题知，，直线的斜率不为0，故设其方程为，，，进而结合直线的方程得，再根据向量共线的坐标表示判断，共线即可.【详解】（1）依题意可得，，解得，故的方程为.（2）易得，，显然，直线的斜率不为0，设其方程为，，联立方程，消去整理得，所以，．直线，令得，故，，，（*）又，即的值为0．所以故A、Q、N三点共线．﹒类型五：有关定值的证明1．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.(1)求抛物线的方程.(2)若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出坐标，待定系数法设切线方程，解出斜率，表示坐标后由面积列方程求解（2）待定系数法设直线方程，与抛物线方程联立后由韦达定理表示弦长与中点坐标，再求其垂直平分线方程，表示点坐标后计算证明【解析】(1)由题意可知，设抛物线在点处的切线方程为，联立得，由解得，故切线方程为，令，得，即，又，所以，解得，所以抛物线的方程为．(2)由（1）可知，显然直线的斜率存在，故可设直线的方程为，，.联立方程组，消去得，所以，，所以，得，所以线段的中点为，中垂线所在直线的斜率，故线段中垂线所在的直线方程为，令，得，所以，所以为定值，得证.类型六：有关定点的证明1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．(1)经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；(2)设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设椭圆的方程为代入点的坐标求出椭圆的方程，再利用点差法求解；（2）由题得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得韦达定理，根据和韦达定理得到，即得证.【解析】(1)由题设椭圆的方程为因为椭圆经过点，所以所以椭圆的方程为.设，所以，所以，由题得，所以，所以，所以，所以直线的斜率为.(2)由题得，当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组y=kx+nx24+y2=1，可得，所以，解得①，设，，，，则②，因为，则，，，又，，所以③，由②③可得（舍或满足条件①，此时直线的方程为，故直线过定点．类型七：有关数列的证明1．已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.（Ⅰ）求a,b；（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【详解】（Ⅰ）由题设知，即，故.所以C的方程为.将y=2代入上式，求得.由题设知，，解得.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程为.①由题意可设的方程为，，代入①并化简得.设，，则，，，.于是，由得，即.故，解得，从而.由于，.故，.因而，所以、、成等比数列.【点评】（1）利用待定系数法求解，利用已知条件建立含义的等量关系，进而确定曲线方程；(2)利用直线与曲线联立方程组，借助韦达定理和弦长公式将、、表示出来，然后借助证明等比中项．方法点拨圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法.1．几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．2、证明三点共线问题的方法圆锥曲线中的三点共线问题，其实就是对应直线(斜率存在)上的三点中相关两个点对应的斜率相等问题，即若要证明A，B，C三点共线，即证明kAB＝kAC(或kAB＝kBC或kAC＝kBC)．3、几何关系“直角”坐标化的转化方式(1)点B在以线段F1F2为直径的圆上；(2)eq\o(F1B,\s\up7(―→))·eq\o(F2B,\s\up7(―→))＝0；(3)kF1B·kF2B＝－1；(4)勾股定理．以上关系可相互转化．巩固练习1．已知双曲线的离心率为，点在上．（1）求