椭圆必会十大基本题型讲与练10以椭圆为情景的探索性问题典例分析角度一、以探索多边形形状为情景的问题1、已知椭圆C:(),直线不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边行?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.2.已知椭圆的一个焦点在直线上,且离心率.(1)求该椭圆的方程;(2)若与是该椭圆上不同的两点,且线段的中点在直线上,试证:轴上存在定点,对于所有满足条件的与,恒有;(3)在(2)的条件下,能否为等腰直角三角形?并证明你的结论.角度二、以探索定点存在性为情景的问题1、如图,椭圆:的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行与轴时,直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题1、椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为,上顶点为,且满足向量.(1)若,求椭圆的标准方程;(2)设为椭圆上异于顶点的点,以线段为直径的圆经过,问是否存在过的直线与该圆相切?若存在,求出其斜率;若不存在,说明理由.2、已知抛物线与过点的直线交于两点.(1)若,求直线的方程;(2)若,轴,垂足为,探究:以为直径的圆是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.角度四、以探索定值存在性为情景的问题1、已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。角度五、以探索最值存在性为情景的问题1、已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心、过椭圆左顶点M的圆与直线3x-4y+12=0相切于点N,且满足eq\o(MF1,\s\up7(―→))=eq\f(1,2)eq\o(F1F2,\s\up7(―→)).(1)求椭圆C的标准方程.(2)过椭圆C右焦点F2的直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,问:△F1AB内切圆的面积是否有最大值?若有,求出最大值;若没有,请说明理由.角度六、以探索直线存在性为情景的问题1、如图,已知A−1,0、B1,0,Q、G分别为△ABC的外心,重心,QG//AB.(1)求点C的轨迹E的方程;(2)是否存在过P0,1的直线L交曲线E于M,N两点且满足MP=2PN,若存在求出L的方程,若不存在请说明理由.2、设经过点的直线与抛物线相交于、两点,经过点的直线与抛物线相切于点.(1)当时,求的取值范围;(2)问是否存在直线,使得成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.方法点拨1、探索性问题:此类问题一般分为探究条件、探究结论两种。若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论。2.圆锥曲线中存在性问题的求解方法:(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.(3)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(4)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(5)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.巩固练习1、如图,在平面直角坐标系中,己知是椭圆的右焦点,是椭圆上位于轴上方的任意一点,过作垂直于的直线交其右准线于点.(1)求椭圆的方程;(2)若,求证:直线与椭圆相切;(3)在椭圆上是否存在点,使四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点的坐标:若不存在,请说明理由.2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且此抛物线的准线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线交椭圆于、两点,线段的中点为,直线是线段的垂直平分线,试问直线是否过定点?若是,请求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.3、已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形,且椭圆C的短轴长为2eq\r(3).(1)求椭圆C的标准方程.(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,且满足eq\o(OM,\s\up7(―→))·eq\o(ON,\s\up7(―→))=2(O为坐标原点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.4、已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2),直线x+y-1=0被圆x2+y2=b2截得的弦长为eq\r(2).(1)求椭圆C的方程.(2)过点(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得eq\o(PA,\s\up7(―→))·eq\o(PB,\s\up7(―→))为定值?若存在,求出点P的坐标和eq\o(PA,\s\up7(―→))·eq\o(PB,\s\up7(―→))的值;若不存在,请说明理由.5、已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合,且其离心率为eq\f(1,2).(1)求椭圆C的方程.(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M,N两点,线段MN中点为P,问:kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值?请说明理由.6.已知点A(0,-2),椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2),F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3),O为坐标原点.设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.(1)求椭圆E的方程.(2)是否存在直线l,使得△OPQ的面积为eq\f(4,5)?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.7.在平角坐标系中,椭圆的离心率,且过点,椭圆的长轴的两端点为,,点为椭圆上异于,的动点,定直线与直线,分别交于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)在轴上是否存在定点经过以为直径的圆,若存在,求定点坐标;若不存在,说明理由.8.已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.9、已知椭圆C:(),直线不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边行?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.10.如图所示,在平面直角坐标系中,已知椭圆:,过点的动直线与椭圆相交于两点,是否存在与点不同的定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.11、在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆O:相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由.12、一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与曲线有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.13、已知椭圆QUOTE????C:QUOTE????2????2+????2????2=1(????>????>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为QUOTE1212,短轴长为QUOTE2323.(1)求椭圆QUOTE????C的方程;(2)设过点QUOTE????(0,4)A(0,4)的直线QUOTE????l与椭圆QUOTE????C交于QUOTE????M、QUOTE????N两点,QUOTE????F是椭圆QUOTE????C的上焦点.问:是否存在直线QUOTE????l,使得QUOTE????????????????????=????????????????????SΔMAF=SΔMNF?若存在,求出直线QUOTE????l的方程;若不存在,请说明理由.14.在平面直角坐标系中,已知椭圆:的焦距为2,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与椭圆交于,两点,问是否存在直线,使得为的垂心,若存在,求出直线的方程:若不存在,说明理由.15.已如椭圆E:()的离心率为,点在E上.(1)求E的方程:(2)斜率不为0的直线l经过点,且与E交于P,Q两点,试问:是否存在定点C,使得?若存在,求C的坐标:若不存在,请说明理由
高考数学专题10以椭圆为情景的探索性问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型 (原
2023-11-19
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