浙江省台州市2024届高三上学期第一次教学质量评估数学试题

台州市2024届高三第一次教学质量评估试题数学2023.11命题：丁君斌（台州一中）王强（三门中学）审题：庄丰（玉环中学）本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．若，则的取值可以为（）A． B． C． D．3．已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（）A． B． C． D．4．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A．288种 B．360种 C．480种 D．504种6．函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）A． B．C． D．7．已知二面角的平面角为，，，，，，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的最小值为（）A．2 B． C． D．8．已知，，，则（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A．可能取到数字4 B．中位数可能是2 C．极差可能是4 D．众数可能是210．已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（）A．B．C．若，则D．若，则11．已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（）A．若，则 B．若，则的面积为9C． D．的最小值为812．已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（）A． B．（e为自然对数的底数，）C．存在， D．若，则非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若（为虚数单位），则______．14．浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学玟分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学玟中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为______．15．在中，角，，所对的分别为，，．若角为锐角，，，则的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可）16．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．18．已知．（Ⅰ）当时，求的最小正周期以及单调递减区间；（Ⅱ）当时，求的值域．19．如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，．将沿折起，使点到达点的位置．（第19题）（Ⅰ）若平面平面，求证：；（Ⅱ）若点到直线的距离为，求二面角的平面角的余弦值．20．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绕（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间3040506070数学成绩65788599108（Ⅰ）请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）（Ⅱ）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：，．．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点在线段上运动（不含端点），点，直线与椭圆交于，两点（点在点左侧），中点的轨迹交轴于，两点，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）记直线，的斜率分别为，，求的最小值．22．设（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）台州市2024届高三第一次教学质量评估试题数学参考答案及评分标准2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B 2．C 3．B 4．A5．C 6．A 7．D 8．A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．BD 10．BCD 11．ABD 12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13． 14． 15．9（答案不唯一，内的任何一个值均可）16．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设的公比为，依题意得：，即，解得或（舍去）．又由，解得，故；（Ⅱ）因为，所以．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当时，，令，，得，，所以函数的最小正周期为，单调递减区间为．（Ⅱ）设，则，令，，又，故当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以的值域为．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以．又为的中点，所以，所以为等腰三角形，故，所以，即因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．（Ⅱ）取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，取的中点，则，由（Ⅰ）得，所以，所以即为二面角的平面角，记为．以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，；，所以点到直线的距离为，由，解得，或，所以二面角的平面角的余弦值为或．20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ），，又，的方差为，所以，，故，当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．（Ⅱ）零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．根据数据，计算得到：，因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设中点，则，因为点在线段上，可得，即，由点在椭圆：上，所以，令，得，由，解得，故椭圆的方程为．（Ⅱ）设：，，，．由得，，，又，，，令，得，当即时取等号，所以的最小值为．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）要证：，（，），只要证：，因为与同号，只要证：，即证：．令，（，），，由，得，所以在上递减，在上递增，所以，故原不等式得证．（Ⅱ）因为，当时，有，则，所以整数．当时，由（Ⅰ）可得，下证：，，只要证：．令，，因为，所以在上单调递减，故，所以得证．综上所述，整数的最大值为2．