河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期四调考试数学试卷

河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知z=i(3−i)2+i，则z在复平面内对应的点位于A．实轴上B．虚轴上C．第一、三象限的角平分线上D．第二、四象限的角平分线上2．已知向量a，b满足|a|=2，b=(1，1)，|a+b|=10，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为A．(22,22)B．(1,1)C．(−1,−1)D．(−22,22)3．在RtΔABC中，A=90∘，B=60∘，AB=2，则AB⋅BC=A．−4B．4C．−8D．84．已知A，B，C为平面内任意三点，则“AB与AC的夹角为钝角”是“|AB+AC|<|BC|”的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为5−12．如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，且点E为线段BO的黄金分割点，则BF=A．3−52BA+5+510BGB．3−52BA+5−510BGC．5−12BA+5−510BGD．3−52BA+55BG6．已知复数z满足z⋅z+4i⋅z=5+ai，则实数a的取值范围是A．[−4,4]B．[−6,6]C．[−8,8]D．[−12,12]7．已知点P是ΔABC所在平面内一点，有下列四个等式：①PA+PB+PC=0；②PA⋅(PA−PB)=PC⋅(PA−PB)；③|PA|=|PB|=|PC|；④PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA如果只有一个等式不成立，则该等式为A．①B．②C．③D．④8．对于给定的正整数n，设集合Xn={1,2,3,⋯,n}，A⊆Xn，且A≠∅．记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2023)=A．2023×22023+1B．2023×22022+1C．2022×22022+1D．2022×22023+1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设非零向量a，b的夹角为θ，c为任意非零向量，定义运算a∗b=|a||b|sinθ，则下列结论正确的是A．若a∗b=0，则a//bB．a∗(b+c)=a∗b+a∗cC．2(a∗b)(a⋅b)=a2b2sin2θD．若|a|=|b|=1，则a∗b的最大值为110．已知复数z1，z2满足|z1|⋅|z2|≠0，则下列结论正确的是A．若|z1|=|z2|，则z1=±z2B．|z1+z2|≤|z1|+|z2|C．若|z1|=|z2|，则z12=z22D．|z1z2|=|z1|⋅|z2|11．如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的非负半轴上滑动，则OB⋅OC的值可能是A．1B．−1C．2D．−212．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R．若对任意的x，y∈R，都有f(x+y)+f(x−y)=2f(x)⋅f(y)，则下列结论正确的是A．f(0)=1B．f(x)+f(0)≥0C．若f(1)=12，则n=12023f(n)=12D．f'(x)必为奇函数第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知2z−11+z=i，则z的虚部是_______．14．若函数f(x)=asinx+cosx的图象关于直线x=π6对称，则实数a=_______．15．在ΔABC中，|AB|=|AC|=|AB−AC|，P是线段BC上的动点，有下列三个结论：①2|AP|≥3|AB|；②AB·AC≥AP·AC；③AB·AP≥AC·AP．则所有正确结论的序号是__________．16．已知向量a，b，c满足|a|=1，b=−2a，|c−b|=2|c−a|，则向量c−b与a的夹角的最大值是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设复数z1=1−i，z2=cosθ+isinθ，其中θ∈[0,π]．(1)若复数z=z1·z2为实数，求θ的值；(2)求|z1+z2|的取值范围．18．（12分）记ΔABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知ΔABC的外接圆半径R=2，且tanB+tanC=2sinAcosC⋅(1)求B和b的值；(2)求ΔABC面积的最大值．19．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，∠BAD=π3，E为CD的中点，AF=λAD(0≤λ≤1).(1)若AE⊥BF，求实数λ的值；(2)求BF⋅FE的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=ax3+bx2−3x+c为奇函数，且在区间(−∞,−1)上单调递增，在区间(−1,1)上单调递减．(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(1,m)(m≠−2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．21．（12分）治理垃圾是某市改善环境的重要举措．2021年该市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从2022年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出该市从2022年开始的年垃圾排放量与治理年数n(n∈N∗)的表达式；(2)设An为从2022年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效．试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．22．（12分）已知函数f(x)=ln(x+1)−1．(1)证明：f(x−1)≤2x−3；(2)设函数g(x)=(x+1)f(x)−12ax2+1，若g(x)在区间(0,+∞)上存在最大值，求实数a的取值范围．数学参考答案一、选择题1．C【解析】因为z=1+3i2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5+5i5=1+i，所以z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一、三象限的角平分线上．2．B【解析】由b=(1,1)，得|b|=12+12=2，则|a+b|=a2+b2+2a⋅b=|a|2+|b|2+2a⋅b=10，即4+2+2a⋅b=10，则a⋅b=2，所以向量a在向量b上的投影向量的坐标为(a⋅b|b|)b|b|=b=(1,1).3．A【解析】因为ΔABC为直角三角形，且A=90∘，B=60∘，AB=2，所以BC=4，且=120∘，所以AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cos120∘=2×4×(−12)=−4.4．B【解析】设AB与AC的夹角为θ(θ∈[0,π])，当θ为钝角时，|AB+AC|2−|BC|2=|AB+AC|2−|AC−AB|2=4AB⋅AC<0，所以|AB+AC|<|BC|；当|AB+AC|<|BC|时，|AB+AC|2<|AC−AB|2，所以4AB⋅AC<0，即AB⋅AC<0，故cosθ<0，所以π2<θ≤π，所以“AB与AC的夹角为钝角”是“|AB+AC|<|BC|”的充分不必要条件．D【解析】由题意得BE=5−12BO，显然BE=DG，BO=OD=12BD，所以BG=(2−5−12)BO=5−52BO，故BO=25−5BG=25(5−1)BG，因为BF=BA+AF=BA+5−12AO=BA+5−12(BO−BA)=3−52BA+5−12BO，所以BF=3−52BA+55BG.D【解析】设z=x+yi，x，y∈R，则x2+y2+4i(x−yi)=5+ai，整理得x2+y2+4y+4xi=5+ai，所以x2+y2+4y=5,4x=a,即y2+4y+a216−5=0．因为此方程有实根，所以Δ=16−4(a216−5)≥0，解得−12≤a≤12.7．B【解析】对于①，设BC的中点为D，连接PD，则PB+PC=2PD.又PA+PB+PC=0，所以PB+PC=−PA，所以PA=−2PD，故点P为ΔABC的重心；对于②，由PA⋅(PA−PB)=PC⋅(PA−PB)，得(PA−PB)⋅CA=BA⋅CA=0，故AB⊥AC，即ΔABC为直角三角形；对于③，由点P到ΔABC三个顶点的距离相等，得点P为ΔABC的外心；对于④，由PA⋅PB=PB⋅PC，得(PA−PC)⋅PB=CA⋅PB=0，同理可得BA⋅PC=CB⋅PA=0，所以AC⊥PB，AB⊥PC，BC⊥PA，即点P为ΔABC的垂心，当ΔABC为等边三角形时，重心、外心、垂心重合，此时①③④均成立，②不成立，满足要求；当②成立时，其他三个均不一定成立．8．D【解析】根据题意知A为集合Xn的非空子集，满足I(A)=1的集合只有1个，即{1}；满足I(A)=2的集合有2个，即{2}，{1，2}；满足I(A)=3的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足I(A)=n的集合有2n−1个，所以S(n)=1+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1，则2S(n)=1×2+2×22+3×23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，两式相减得−S(n)=1+2+22+...+2n−1−n⋅2n=2n−1−n⋅2n，所以S(n)=(n−1)∙2n+1，所以S(2023)=2022×22023+1.二、选择题9．ACD【解析】对于A，因为a∗b=|a||b|sinθ=0，所以sinθ=0，解得θ=0或θ=π，所以a//b，故选项A正确；对于B，不妨取a=(1,0)，b=(0,1)，c=(0,−1)，设a与b+c的夹角为α，a与c的夹角为β，则a∗(b+c)=|a||b+c|sinα=1×0×0=0,a∗b+a∗c=|a||b|sinθ+|a||c|sinβ=1×1×1+1×1×1=2，此时a∗(b+c)≠a∗b+a∗c，故选项B错误；对于C，2(a∗b)(a⋅b)=2(|a||b|sinθ)(|a||b|cosθ)=2|a|2|b|2sinθcosθ=a2b2sin2θ，故选项C正确；对于D，当|a|=|b|=1时，a∗b=|a||b|sinθ=sinθ≤1，当且仅当θ=π2时取等号，所以(a∗b)max=1，故选项D正确．10．BD【解析】设z1=1+i，z2=2i，则|z1|=|z2|=2,z12=(1+i)2=2i,z22=(2i)2=−2，不满足z1=±z2，也不满足z12=z22，故选项AC错误；对于B，设z1，z2在复平面内对应的向量分别为OZ1，OZ2，且OZ1,OZ2≠0，由向量加法的几何意义知|OZ1+OZ2|≤|OZ1|+|OZ2|，故|z1+z2|≤|z1|+|z2|，故选项B正确；对于D，设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，且a，b，c，d≠0，则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，所以|z1z2|=(ac−bd)2+(ad+bc)2=(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2，|z1|⋅|z2|=a2+b2∙c2+d2=(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2=|z1z2|，故选项D正确．11．AC【解析】设∠OAD=θ(0≤θ<π2)，因为AD=1，所以OA=cosθ,OD=sinθ,∠BAx=π2−θ，故xB=cosθ+cos(π2−θ)=cosθ+sinθ，yB=sin(π2−θ)=cosθ，所以OB=(cosθ+sinθ,cosθ)．同理可得C(sinθ,cosθ+sinθ)，所以OC=(sinθ,cosθ+sinθ)，所以OB⋅OC=(cosθ+sinθ,cosθ)⋅(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ．因为0≤θ<π2，所以0≤sin2θ≤