数学答案

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）12345678910ACCBBADDDB二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）23（12）4π（13）2；(0，)之间的任意一个角都可以4（14）[4−)+，；(3−6)，（15）①②③（只写对一个2分，只写对二个3分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）解：由图可知xx41−=π，所以T=π.………………………………2分2π又知==2.………………………………4分T所以f(x)=+Asin(2x).ππ（Ⅰ）若选择条件①②，即x=，x=.11226ππ因为f(x)=f()=Asin(+)=0.1126ππ由图可知+=2kkπ，Z，即=−+2kπ.……………………6分66π因为0，2π所以当k=0时，=−.………………………………8分6π所以f(x)=−Asin(2x).6ππ又因为f(x)=f()=Asin=1.266所以A=2.………………………………10分π所以f(x)=−2sin(2x).6ππ若选择条件①③,即x=，x=.11232第5页/共11页学科网（北京）股份有限公司ππ因为f(x)=f()=Asin(+)=0.1126ππ由图可知+=2kkπ，Z，即=−+2kπ.66π因为0，2π所以当k=0时，=−.6π所以f(x)=−Asin(2x).6ππ又因为fx(f)A()sin==1=,326所以A=2.π所以fx(x)2s=−in(2).6ππ若选择条件②③,即x=，x=.2632因为fx(f)x(23)=,xx+π由图可知，当x==12时fx()取得最大值，23ππ即fA()=，AAsin(2+)=332π由sin(+=)132ππ得+=+2kkπ，Z，32π因为0，2π所以=−.6π又f(x)==f()1，26所以A=2.π所以f(x)=−2sin(2x).6π3π（Ⅱ）因为函数yx=sin的单调递减区间为[2++kkπ,2π]，kZ，22ππ3π由+2k≤2x−≤+2k，kZ，………………………………2分262π5π得+k≤x≤+k，kZ.36第6页/共11页学科网（北京）股份有限公司π5π所以fx()单调递减区间为[++kkπ,π]，kZ.…………………4分36（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）连结QDB，D，BD与QC交于点O，……………………1分因为底面ABCD是直角梯形，AB∥DC,Q为AB的中点.所以BQ∥DC且BQ=DC，即BQDC为平行四边形，所以点O是BD中点，连结OM，所以PBMO∥.……………………3分又因为PB平面MQC，MO平面MQC，所以PB//平面MQC.……………………5分（Ⅱ）因为PAB为等边三角形，Q为AB的中点，所以PQ⊥AB.又面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，所以PQ⊥面ABCD，又因为ABDC∥，BAD=90，所以BQCQ⊥.如图建立空间直角坐标Qxyz−，……………………2分133可知Q()000，，，P(0，，03)，C(03，0)，，M()−，，，222易知PC=−(0,3,3)，……………………4分设面MQC的法向量为n=()x，，yz，133且QC=(0，，30)，QM=−()，，，22230y=，n=QC0，即133n=QM0，−x+y+z=0．222所以n=(3，，01)，……………………6分设PC与平面MQC所成角为，……………………7分−32则sin=cosPC，n==，……………………9分3+33+142所以PC与平面MQC所成角的正弦值为.4（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“甲按“ABC，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，………1分则PE()=0.80.5(1−p)+0.80.5p=0.4.……………………5分所以，甲按“ABC，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为0.4.第7页/共11页学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1000，3000，6000，……………………1分PX()==0−1=0.80.2，PX()=1000=0.8(1−0.5)=0.4，PX()=3000=0.80.5()1−0.25=0.3，PX()=6000=0.80.50.25=0.1，……………………5分所以随机变量X的分布列为X0100030006000P0.20.40.30.1所以EX()=00.2+10000.4+30000.3+60000.1=1900.……………………7分（Ⅲ）0p0.5均可.……………………2分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）直线lx:y22+0−=与坐标轴的两个交点为(2,0),(0,1)，……………………2分由于ab，所以a=2，b=1，……………………4分x2所以椭圆E的方程为+=y21.……………………5分4（Ⅱ）设过点(2,1)的直线为l1，由题意直线l斜率存在，设l1方程为y−1=k(x−2)，即y=kx+(1−2k).……………………1分y=kx+(1−2k)由2，消元得x22+4[kx+（1−2k)]=4，x2+=y14整理得(1+4k2)x2+8k(1−2k)x+16k2−16k=0.……………………2分由=[8k(1−2k)]2−4(1+4k2)(16k2−16k)=64k0，可得k0.……………3分设M(x1,y1),N(x2,y2)，则8kk(1−2)16kk2−16xx+=−，xx=.……………………4分1214+k21214+k22−x由题意，将xx=，代入l:x+2y−2=0得Px(,)1，……………………5分112y直线AN的方程为yx=−2(2)，……………………6分x2−2yx21(−2)令xx=1得Qx(,)1，……………………7分x2−2y2(x1−−2)2x1所以+y1−2x2−22第8页/共11页学科网（北京）股份有限公司y(x−2)+y（）x−2+(x−2)(x−2)=211212x2−2（kx+12)(−kx−2)+（（）kx+12)−kx−2+(x−2)(x−2)=211212x2−2（2k+1)xx-(4k+1)(x+x)+8k=1212x2−2（2k+1)(16k22-16k)+(4k+1)8k(1−2k)+8k(1+4k)=2(1+−4kx)(22)(32k3-16k2-16k)+(−64k3+16k2+8k)+(8k+32k3)==20(1+−4kx)(22)所以，点P是线段MQ的中点.……………………9分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）fx(x)xln(a=)−+，11所以fx()=−，……………………2分2xxa+11由f(1)0=，得−=0，211+a所以a=1.……………………4分（Ⅱ）函数y=f()x在(0,)+单调递增.……………………1分因为a1，所以函数fx()定义域为[0)，+.……………………2分11x−+2xafx()=−=，2xxa+2x(x+a)因为x−2x+a=(x−1)2+a−1a−1.……………………4分因为a1，所以fx()0.……………………5分因此函数yf=x()在区间()0，+上单调递增.（Ⅲ）证明：当xx12=时，显然有|f(x2)−f(x1)|=|x2−x1|，不等式成立；………………1分当xx12时，不妨设xx12，……………………2分由于函数fx()在区间()0，+上单调递增，所以|f(x2)−f(x1)|=f(x2)−f(x1)，又||x2−x1=x2−x1，则|f(x2)−f(x1)|−|x2−x1|=f()()()x2−fx1−x2−x1=x2−ln(x2+a)−x1+ln(x1+a)−x2+x1=ln(x12+a)−ln(x+a)第9页/共11页学科网（北京）股份有限公司xa+=ln1.……………………4分xa2+因为xx12，所以x21ax+a+0，xa+所以011，xa2+xa+所以ln01.……………………6分xa2+，综上，对任意的xx12,[0)+，|f(x2)−−f(x1)||x2x1|成立.（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）M=6063，N=9.……………………4分（Ⅱ）N最小值为6，M的最大值6063.证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列{}an，3若，则中的每一个元素为，，j=3Ax=an+i=an+1+an+2+an+3n=0,1,2,...,2019i=13由题意，，M==max(ani+)n0,1,2,,2019i=1那么，对于任意的{}an，总有M2020+2021+2022=6063.3同理，由题意，，N==min(ani+)n0,1,2,,2019i=1那么，对于任意的{}an，总有N1+2+3=6，……………………4分当ann=(n=1，，，22022)时，满足:N=6，M=6063.……………………5分（Ⅲ）M的最小值为6069.由于j=6，对于1，2，……，2021，2022的一个排列{}an，6中的每一个元素为，，Ax==ani+n0,1,2,...,2016i=16由题意，，M==max(ani+)n0,1,2,,2016i=1对于任意的{}an，都有2022M1+2++2022，6202220232022即M，M6069.……………………2分62构造数列{}an：a2n==n，n1,2,,1011，a21n−=2023−n，n=1,2,,1011，对于数列{}an，设任意相邻6项的和为T，则T=a21n−+a2n+a21n++a22n++a23n++a24n+，或T=a2n+a21n++a22n++a23n++a24n++a25n+若T=a21n−+a2n+a21n++a22n++a23n++a24n+，则第10页/共11页学科网（北京）股份有限公司T=（n+++++(n1)(n2))((2023−n)+（2023−−+n1)(2023−−n2))=20233=6069，n=1,2,,1009若T=a2n+a21n++a22n++a23n++a24n++a25n+，则Tn=n+n(+(1+)+(2))+((2023−n−1)+(2023−n−2)+(2023−n−3))=20223=6066，（n=1,2,,1008）所以T6069，即对这样的数列{}an，M=6069，又M6069，所以M的最小值为6069.……………………5分第11页/共11页学科网（北京）股份有限公司