云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期8月月考卷数学（二）

云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考试卷数学（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案CACDBBAC【解析】1．∵，zzzz1i∴，||2∴|22|||2，故选C．2．当x4时，2xx2成立，充分性成立；但当x1时，必要性不成立，故选A．3．由题可设小学生、初中生、高中生中分别抽取4a人，3a人，3a人，则9.54aaa83738.3，故选C．10ayy2xy224．设点M()xy，，则(3)x，∴1(x3)，故选D．xx333961111112．，，，∴，故选．5ablog4882log3log22ccabB225256．如图1，取AB的中点D，连接PD，CD，则PDCD3，又PC6，∴，PD222CDPC∴，PDCD∴平面PAB平面ABC，设△和ABC△PAB的外心分别为OO12，，则OO12，分别13在线段CD，PD上，且ODODCD，设外接球的球心1233图16为O，连接OO，，，，OOODOA在正方形OODO中，OD，∴ROAADOD22221212326520，2，故选．1SR4ππB333x2x27．∵yxyxalog2(41)与为偶函数，∴f()xxxalog(421)为偶函数，又f()x存在唯一的零点，则faa(0)10，∴1，故选A．8．因为fx(21)为奇函数，所以f()x关于点(10)，中心对称，又fx(1)为偶函数，所以f()x关于直线x1对称；所以f()x为周期函数且周期T4|1(1)|8，∴，ff(2025)(82531)fa(1)1∵，fa(1)10∴，a1∴，fa(2025)12故选C．数学参考答案·第1页（共9页）{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBDABD【解析】πππ9．因为fxfx()，所以函数f()x的周期为，故A正确；∵，，x02∴ux226ππ7ππ7ππ，，又yu|sin|在，上不单调，故B错误；∵函数yx|sin2|向左平移44124128πππkkππ个单位长度得到sin2xxsin2，故C正确；令2πx，得x844248()kZ，故D正确，故选ACD．10．△ABF1的周长lAFABBFAFAFBFBFa|111221|||||(||||)(||||)4，故A错误；xy22b22b2当直线AB垂直于x轴时，将代入xc1得y，∴||AB，故B正确；ab22aa∵，，|AFBFABBFBFAFBFBF22|2|||||1|∴，|1222|||||3||∵，||||2BFBFa12a3a1∴，，||BFa||BF∴，|AF|a||2||AFaAFa，在△中，ABFcosA2，122221213a32||||||AF22AFFF2aa2241c2c2在△中，1212，22，∴2AFF12cosA2ace322|AF12||AF|2a3a13，e，故C错误；过点P向圆引两条切线，设切点为C和D，∵，PCOC33PDODPCPDOCOD，，，所以四边形OCPD为正方形，∴，||2OPb所以ab≥2时，椭圆上存在点P满足题意，故D正确，故选BD．151511．令fx()0，则xx210，∴x，x，所以函数f()x有且只有两个1222xx22零点，故A正确；fx()，令，得，fx()01x2令，得fx()0x1ex或x2，∴fx()在(12)，上为增函数，在(，1)(2，，)上为减函数，故B正确；数学参考答案·第2页（共9页）{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}2fx()极大值f(2)5e，，又fx()极小值f(1)efx()0得xxxx12或，又fx()0得x12xx，当x时，fx()0，当x时，fx()，作出f()x的图象，如图2，由图象可得，f()x无最大值，故C错误；方程图2f()xa有三个实根，即yfxya()与的图象有三个不同的交点，∴，故05ea2D正确，故选ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号12131417答案8425【解析】112．∵，∴（），∴，∴，aabaab()0aab220aab410∴．4πtan114cos22sin．∵，∴，∴2213tantancos2cossin2241tan73cossin1tan27．1tan225an114．令，则maaaa122nnn11，∴，所以数列{}an是首项为2，公比为2的等比数列，ann21n∴an2，∵f()xa122axax33naxn，∴faaana(1)12323n2222332n2n①，∴2fnn(1)22322(1)2nn21②，由①−②得，fnn(1)222322nn21(1)2n12，∴fn(1)(1)2n12，且f(1)随着n的增大而增大，当n7时，f(1)628215382025，当n8时，f(1)729235862025，故n的最小值为8．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）∵，aBbAbccoscos∴，sinAcosBBABCBsincossinsinsinsin(AB)∴，sinAcosBBABABABsincossinsincoscossin数学参考答案·第3页（共9页）{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}1∴，2sinBAcossinB∵，sinB0∴，cosA22∵，0πAA∴．π……………………………………………（6分）32π13（）∵22sinCBsin2sinBsinB2sinBcosBsinB32263cosB，22ππ∴，cosBBBC∵，0π∴，，2412ba∵，23∴，bB23sin6sinBAsin11π162933∴SabCsin36sin36.△ABC2212244……………………………………………（13分）16．（本小题满分15分）解：（1）∵f()xxbxc32，∴，f()xxbxfxxb322()62，fbb(1)620，，3∴∴fbcc(1)12，，0∴f()xx323x．……………………………………………（6分）32（2）设过点(1，t)的直线与yfx()相切于点(3)x00，xx0，2∴kfx()3000x6x，322则切线为yx(3)(36)()00xx00xxx0，322因为切线过点(1，，t)∴tx(3)(36)(1)00xx0x0x0，3∴26x00xt0令g()xxxt236，因为过点(1，t)可作三条直线yfx()与相切，所以gx()有三个零点，gx()6x266(x1)(x1)，令gx()0，得x1或x1，令gx()0，得1x1，∴gx()在(，1），(1，)上为增函数，在(11)，上为减函数，数学参考答案·第4页（共9页）{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}∴，，g()xg极大值(1)4tgxgt()极小值(1)4∵gx()有三个零点，gx()4t0，∴∴极大值44.t，gx()极小值4t0……………………………………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）证明：取AE中点O，连接OP，OC，则POAE，在△RtADE中，ADDE2，∴，OD22在△OEC中，OC222OECE2OECEcos135222222cos13510，在△POC中，OPOD21023，OC，PC，∴，OP222OCPC∴，又，OPOCAEOCO∴平面，OPABCE又平面，OPPAE∴平面PAE平面ABCE.………………………………………………………（6分）（2）解：连接OB，BE，易得ABBE25，又O为AE的中点，OBAE，由（1）知OP平面ABCE，∴，OPOB∴OP，OA，OB两两垂直，如图3，以O为原点建立空间直角坐标系，则OA(000)(200)(0320)(22，，，，，，B，，，C，20)，，P(0，，02)，设平面PAB的法向量为nxyz1111()，，，∵，，，，，，PA(202)PB(0322)nPA111220xz，图3∴∴，，，n1(313)，nPB11132y2z0设平面PBC的法向量为nxyz2222()，，，∵，，，PC(2222)nPB22232y2z0，∴∴，，，n2(113)，nPC222222x2y2z0设平面PAB与平面PBC所成角为，nn3(1)11337209则cos12，||||nn12191120942090故平面PAB与平面PBC所成角的正弦值为．………………………（15分）209数学参考答案·第5页（共9页）{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}18．（本小题满分17分）解：（1）设AA12“选择类问题”，AB“选择类问题”，B“选中的问题回答正确”13115则．PB()PA()PB(|A)PA()PB(|A)112224228……………………………………………………………（5分）（2）若选方案一：设李华累计得分为X，则X可能取值为0，20，40，50，100，1111111PX(0)，24222481311139PX(20)，244224321339PX(40)，244321111113PX(50)，222242161111PX(100)，2228则X的分布列为X020405010019931P8323216819931EX()020405010038.75．………………………（11分）83232168若选方案二：设李华累计得分为Y，则Y可能取值为0，20，5