2025届湖南省高三年级入学考试（金太阳8月联考）（HUN）数学答案

湖南省高三年级入学考试数学参考答案!!#!!解析本题考查复数相等与复数的模#考查数学运算的核心素养!由$%&'#$!(&!#!#得'#$!且%'(解得'(%#'()则#%$#&#'#*()&#'槡!+$,'-!%!.!!解析本题考查三角函数的周期#考查逻辑推理的核心素养!%!%因为!$/所以$'%)!解得/&!'!!))!0!!解析本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!因为%'$###'!$!#%(!%'&(!$1#&'$#(-&&%%所以%(&'&(!%#!*!#!!解析本题考查双曲线的离心率与平面向量#考查直观想象的核心素养!)**)($(')#)!%#'$(%**)**)**)**)依题意可得'所以'''-!因为)!%与%)%同向所以)!%'-%)%!(%**)'(()#%)%#(((%-!2!!解析本题考查等比数列#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!因为两个等比数列$(*%$+*%的公比相等且(!$+!'!()$+)'(%!(%$+%#所以数列$(*!(!(%#3$+*%是首项为!公比为(%的等比数列所以数列$(*$+*%的前3项和为'*)!!(!(%#+!.!!解析本题考查正态分布#考查应用意识以及逻辑推理的核心素养!依题可知+')!%,%'!!**所以-.!)!%!!%%#故/!-$%#'/!-$)!%(!!%#'/!-&)!%$!!%#,/!*!)!因为0.!%!!!%%#所以/!0&*#'/!0&%!$!!%#,/!*!)所以/!0&*#'/!-$%#/!0&*#$/!-$%#,!!+%+$!!+!3!0!!解析本题考查两角和与差的正切公式#考查数学运算的核心素养!%%!#!#!#456$456#'456(456#456(456#因为456$#456(#'3456(#''%%'%!!(456456#!$456456#!(456456#3$)!所以456!(#')故456%'456&!$#$!(#(''(!###!(37)%!.!!解析本题考查直线与半椭圆的位置关系#考查直观想象与数学运算的核心素养!%%槡)%%)%#由'槡*(#得'!*(##!%/#即$'!!%/#所以1为椭%**)#%%圆$'!的右半部分!当2'/时直线3)'/与1有两个公共点*当2-/*)%%!!#%%时直线3)#'$)令'4将#'4$)代入$'!得!)4$*#$!4$!-'/22*)!高三数学参考答案!第!!!!!页#共页$%!#$%%$&!!'(){#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}书%%%-%)!槡!-则$'!!4#(+/!)4$*#$/得4$则2&!由图可知&/所以2()-2!-槡!-/!综上2的取值范围是(/!#!-(,!0#.!!解析本题考查统计#考查数据处理能力!该部门一年中请假天数为/的人数为)/(+()(*(*()'!/0正确!该部门一年中请假天数大于-的人数为*$*$)'!!2错误!因为)/7*/8'!%且请假天数为/的人数为!/请假天数为*的人数为+所以这)/名员工一年中请假天数的第*/百分位数为*#正!%)确!这)/名员工一年中请假天数的平均数为7!*7+$-7)$+7*$37*$7)#'&)/+*.正确!!/!02.!!解析本题考查函数的性质$导数的几何意义$直线的斜率#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!!因为5!#的定义域为!(1(!#.!!$1#且5!(#'($'(5!#所以5!#为奇函数0正确!5!#在!(1(!#和!!$1#上均为增函数当!(1(!#时5!#&/当!!$1#时5!#$/所以5!#在其定义域内为增函数2正确!当!(1!(!#.!!$1#时56!#'!$%&%则曲线#'5!#的切线的斜率小于%#错误!设曲!%(!线#'5!#上任意一点为/!##则#'('!(1(!#.!!$1#则###!$!$(!#%#%#4/%$4/&'$''''%.正确!$!(!%(!%(!#!!!2#!!解析本题考查空间几何体的新概念$体积$线面角以及外接球的表面积#考查空间想象能力与直观想象$数学运算的核心素养!因为圆锥/7的底面直径与线长度分别为%*所以圆锥/7的$#-!!母线长为*高为槡*%(!%'槡!-则圆锥/7的体积为!7!%)$#.槡!-&7槡!-'!0错误!设圆锥/7内切球的半径为8则-)%!8!槡!-'解得8'所以圆锥/7内切球的线长度为%8槡!-(8*-%槡!-'#正确!因为%&'%%!&!'*所以%1'%%槡&%!1!'*%槡&+所以%1!'+!过-*槡%(%%槡%1作%!1!的垂线垂足分别为9)则9)'%1'%%槡%!9')1!''%槡所%%%以91!')%槡则%9'槡+(!)%槡#')%槡!%%!与底面%!&!1!:!所成的角为/%%!9%9且456/%%!9'')2正确!设正四棱台%&1:;%!&!1!:!外接球的半径为<球心%!9!高三数学参考答案!第!!!!%页#共页$%!#$%%$&!!'(){#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}为.设正四棱台%&1:;%!&!1!:!上+下底面的中心分别为==!则==!'%9')%槡%%%%且.在==!上!设.=!'>由.%!'.%得>$!%%槡#'!)槡%(>#$!槡%#解得>'%槡%则正四棱台%&1:;%!&!1!:!外接球的表面积为*!7!>$#'*/!.错误!!%!!//!!解析本题考查对数的运算#考查数学运算的核心素养!因为9:#'!所以#'!/又9:-'-9:'#'!/所以9:'%则'!/%'!//!!)!+槡%!!!解析本题考查圆的方程#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!由!%$#%(!#%(!%$#%#$!-'/得!%$#%(!#%(!%$#%(!#$3'/即&!%$#%(!#(!(&!%$#%(!#(3('/即%$#%'%或%$#%'所以曲线1表示两个同心圆且这两个圆的半径分别为槡%%%槡所以曲线1的周长为%!7!槡%$%%槡#'+%槡!!%!*!!!解析本题考查排列组合的实际应用#考查应用意识与分类讨论的数学思想!3)-甲+乙+丙)人的座位互不相邻的情况分为三种)第一种这)人都在第二排共有0)0-种!)-)-不同的安排方法*第二种这)人中!人在第一排%人在第二排共有#)0)0-')0)0-种不同的安排方法*第三种这)人中%人在第一排!人在第二排若第二排的这!人安排在!!)-)-中间的位置则有#%#%0)0-'*0)0-种不同的安排方法若第二排的这!人不安排在中间!%)-)-的位置则有#%!#*(%#0)0-'0)0-种不同的安排方法!故甲+乙+丙)人的座位互不相!$)$*$)-!+7+%邻的概率为0)0-''!0737+3!-!!解析本题考查直线与抛物线$基本不等式的综合#考查数学运算与数学抽象的核心素养!解)!!#因为%!+2$%#&!%*2$#是抛物线1)#%'%?!?$!#上的两点1!2$%#%'!%?所以0………………………………………………………………………!分2!2$#%'*?!2$#%则'*整理得2%'!+解得2';*!……………………………………………)分!2$%#%!当2'(*时!%?'!2$%#%'*解得?'&!不合题意*…………………………*分)当2'*时!%?'!2$%#%')+解得?')$!!…………………………………………-分)故1的准线方程为'(!………………………………………………………………+分%)!%#由!!#知1的焦点为/…………………………………………………………3分!%#1#%'+%%%,%联立0)得4(!)4$+#$4'/!……………………………………分#'4(*2!%#)4%$+设/!!#!#@!%#%#则!$%'%……………………………………………,分4)4%$++所以#/@#'!$%$?'%$)'+$%…………………………………………!!分44!高三数学参考答案!第!!!!)页#共页$%!#$%%$&!!'(){#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}+所以#/@#$4%'+$$4%%+$%+槡…………………………………………………!%分4%+当且仅当'4%即4%'槡+时等号成立4%所以#/@#$4%的最小值为+$%+槡!……………………………………………………!)分评分细则),!-第!!#问中1的准线方程还可以写为%$)'/第!%#问中未写取等条件扣!分!%%+,%-第!%#问中也可以用弦长公式#/@#'槡!$4!!$%#(*!%求得#/@#'+$槡4%不扣分!!+!!解析本题考查立体几何与空间向量的综合#考查空间想象能力与数学运算$直观想象的核心素养!!!#证明)连接%!1交%1!于点9………………………………………………………!分则9为%!1的中点!………………………………………………………………………%分连接:9!因为:为%!&!的中点所以:93&!1………………………………………)分又:94平面%1!:&!15平面%1!:所以&!13平面%1!:!……………………………………………………………………-分!%#解)取%&的中点7连接17:7!因为%1'&1'+%&'!/所以176%&且17'槡+%(-%'槡!!!…………………………………………………………3分**)以7为坐标原点71的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则7!///#:!//-#1!槡!!//#%!/(-/#……分**)**)所以%:'!/--#%1'!槡!!-/#!……………………………………………………,分设平面%1:的法向量为!'!#A#**)1!'%:'-#$-A'/则0**)……………………………………………………………!/分2!'%1'槡!!$-#'/令'-得!'!-(槡!!槡!!#!………………………………………………………!!分**)易知平面%!%:的一个法向量为'71'!槡!!//#!………………………………!%分!'-槡!!-槡*3<=>.!/'''!……………………………………………!)分#!###槡*37槡!!*3由图可知二面角1;%:;%!为钝角-槡*3所以二面角1;%:;%!的余弦值为(!…………………………………………!-分*3评分细则),!-第!!#问还可以先证明平面&!713平面%1!:再证明&!13平面%1!:阅卷时请按照步骤给分!!高三数学参考答案!第!!!!*页#共页$%!#$%%$&!!'(){#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#},%-第!%#问中两个平面的法向量均不唯一只要与对应法向量共线即可!,)-第!%#问还可以用这样的方法求解)取%&的中点7连接17:7!依题意可得四边形%7:%!为正方形!…………………+分因为%1'&1'+%&'!/所以176%&………………………………………………3分且17'槡+%(-%'槡!!!…………………………………………………………………分在直三棱柱%&1;%!&!1!中%%!6底面%&1则%%!617!…………………………,分因为%&(%%!'%所以176平面%&&!%!!…………………………………………!/分取%:的中点)连接7)1)则7)6%:!………………!!分易证%:61)………………………………………………!%分所以/7)1为二面角1;%:;%!的补角!…………………!)分-%槡%%槡*37槡%因为7)'所以1)'槡17$7)'<=>/7)1'%%7)-槡*3'…………………………………………………!*分1)*3-槡*3所以二面角1;%:;%!的余弦值为(!…………………………………………!-分*3!3!!解析本题考查解三角形与平面向量#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!解)!