江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.命题“”的否定为（）A.B.C.D.3.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为4.若，则（）A.B.C.D.5.已知函数，则的图象大致是（）A.B.C.D.6.如图，矩形的三个顶点分别在函数的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为（）A.B.C.D.7.已知，则（）A.B.C.D.8.已知，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（）A.B.C.D.10.下面的结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11.已知函数，下列结论中正确的是（）A.的图像关于中心对称B.的图像关于对称C.的最大值为D.既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数，对任意的，不等式成立，则整数的最大值为__________.（参考数据：）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.16.（本题15分）设数列的各项均为正整数.（1）数列满足，求数列的通项公式；（2）若是等比数列，且是递减数列，求公比.17.（本题15分）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心.（1）求的值；（2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值.18.（本题17分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证.19.（本题17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.（1）求的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.113.14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接，在中，，同理得，因为，所以，所以，因为所以所以又因为平面平面所以平面；（2）取中点，则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系则，设平面的一个法向量为，又，所以，令，则，则，又，所以点B到平面的距离为.16.【详解】（1）因为，①所以当时，，②由①-②得，，所以，经检验，当时，，符合题意，所以（2）由题设知.若，则是递减数列，符合题意.若，则当时，，不为正整数，不合题意.若，则，当，即时，，这与是递减数列相矛盾，不合题意.故公比.17.【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减，所以且，所以，可知，又由，可知，所以，故，由，可得，即.（2），化简得，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，故长的最大值为.18.【详解】（1）当，所以，而，切线方程为，即所求切线方程为；（2）得定义域为，设，则，故是增函数，当时，时，，所以存在，使得①，且时，单调递减，时，单调递增，故②，由①式得③，将①③两式代入②式，结合得：，当且仅当时取等号，结合（2）式可知，此时，故恒成立.19.【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方，因为直线为的等线，所以，解得，所以的方程为（2）设，切线，代入得：故，该式可以看作关于的一元二次方程，所以，即方程为当的斜率不存在时，也成立渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，故，所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，则过点的等线必定满足：到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，由，解得，故.所以，所以，所以，所以（3）设，由，所以，故曲线的方程为由（*）知切线为，也为，即，即易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，由（2）知，所以由得因为，所以直线为.等线.