湖北省宜城市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

2025届高三9月月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.设，则曲线在点处的切线的斜率是（）A.B.C.1D.42.“或”是“幂函数在上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知为正实数，且，则的最小值为（）A.B.C.D.4.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是.这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（）（参考数据：）A.70天B.80天C.90天D.100天6.已知函数且，若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.若，则的大小关系是（）A.B.C.D.8.已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.函数定义域为，则的定义域为B.函数是奇函数C.已知函数存在两个零点，则D.函数在上为增函数10.已知正数满足，则下列结论正确的是（）A.的最大值为4B.的最小值为8C.的最小值为3D.的最小值11.已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.点是函数的一个对称中心C.当时，D.函数恰有6个零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若，则的取值范围为__________.13.记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________.14.已知函数，若对任意且，都有，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）设集合.（1）当时，求；（2）记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合.16.（15分）已知函数，若曲线在处的切线方程为.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值；（3）求函数在上的最大值､最小值.17.（15分）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.现规划了如下三项工程：工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.记这三项工程的总造价为亿元.（1）求实数的取值范围；（2）问点在何处时，最小，并求出该最小值.18.（17分）已知且，函数.（1）求的定义域及其零点；（2）讨论并证明函数在定义域上的单调性；（3）设，当时，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数存在正零点，（i）求的取值范围；（ii）记为的极值点，证明：.参考答案：题号1234567891011答案ABCDBBDAABABDAC12.13.14.415.（1）（2）【详解】（1）当时，，，即，解得或，（2）若集合的真子集有7个，则，可得，即中的元素只有3个，而，解得或，由（1）知，则当时，，故所有实数的取值所构成的集合为16.（1）（2）答案见详解（3）.【详解】（1）由题意可知：，则.因为曲线在处的切线方程为，则，即，解得（2）因为，当时，；当时，；可知函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为，的极大值为的极小值为.（3）函数在上单调递增，在上单调递减，且，函数在上的最大值，最小值.17.（1）（2）当点满足时，最小，最小值为5.1亿元.【详解】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，所以，解得：.直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，所以，解得：，故实数的取值范围为.（2）依题意可得：.，当且仅当，即时取等.所以当点满足时，最小，最小值为5.1亿元.18.（1）（2）答案见解析（3）【详解】（1）函数的意义，则，解得，所以函数的定义域为；令可得，解得，故函数的零点为：；（2）设是内的任意两个不相等的实数，且，则，，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增；（3）若对任意，存在，使得成立，只需，由（2）知当时，在上单调递增，则，当时，成立；当时，在上单调递增，，由，可解得；当时，在[3，4]上单调递减，，由，可解得；综上，满足条件的的范围是19.（1）单调递减区间是，无单调递增区间（2）（i）；（ii）证明见解析公众号：高中试卷君【详解】（1）由已知可得的定义域为，且，因此当时，，从而，所以的单减区间是，无单增区间；（2）（i）由（1）知，，令，当时，单调递减.①当时，可知在内单调递减，又，故当时，，所以不存在正零点；②当时，，在单调递减，故当时，，函数不存在正零点；③当时，，此时，所以存在满足，所以在内单调递增，在内单调递减.令，则当时，，故在内单调递增，在内单调递减，从而当时，，即，所以，又因为，所以，因此，此时存在正零点；综上，实数的取值范围为；（ii）由题意，，即从而，即，由（i）知当时，，即，有，又，故，两边取对数，得，于是，整理得.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，从而得到，即可得.