2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷命题人:郑华审题人:裴艳考试时间:2024年9月25日一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上..C.集合,若,则集合可以为()A. B. C. D..C【详解】.若复数,则()A0 B. C.1 D.2.B.已知,若与的夹角为,则在上的投影向量为( )A. B. C. D..D【详解】由题意知,所以,两边取以10为底的对数,得,所以.纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通、安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式:,其中为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为时,放电时间为;当放电电流为时,放电时间为,则该蓄电池的Peukert常数约为(参考数据:,)( )A.1.12B.1.13C.1.14 D.1.15.C【详解】因为所以则所以则,因为,所以,又则,所以故因为所以则.解法二:∵,∴,∴,故选C.已知,且,,则( )A. B. C.D..B【详解】∵恒成立,设,则当时,时,∴,即,∴.已知函数恒成立,则实数的最小值为( )A. B. C. D..A【详解】设,的定义域为,当时,,此时的图象与的图象没有交点,当时,,此时两图象没有交点,当时,,此时两图象有一个交点,当时,,此时两图象没有交点,当时,,此时两图象有一个交点,⑥当时,,,设在上单调递减,,且趋于时,趋于正无穷,∴存在使得,且时,∴在上单调递减,∴,即,结合以上分析,画出fx,gx在上的函数图象可知,两图象在上有一个交点,当时,由对称性可知,两图象在上有一个交点,⑧当时,,此时两图象有一个交点,当时,,,注意到,画出fx,gx在上的函数图象可知,两图象在上有一个交点,⑨当时,,此时两图象没有交点;综上所述,函数与函数的图象交点个数为6..函数与函数的图象交点个数为( )A.6 B.7 C.8 D.9.A【详解】由题知是的正整数解,故,取指数得,同除得,,故,即,根据是递增数列可以得到也是递增数列,于是原不等式转化为.而可以得到满足要求的的最大值为5,故A正确..斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入,又称“兔子数列”.这一数列如下定义:设为斐波拉契数列,,其通项公式为,设是的正整数解,则的最大值为( )A.5 B.6 C.7 D.8二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分..BD【详解】对于A选项,去掉后的平均数为,方差为,故A选项错误;对于B选项,由于随机变量服从正态分布,则,关于1对称,则故B选项正确;对于C选项,因为,所以,又因为回归方程为,所以,所以,故C选项错误;对于D选项,对于独立性检验,随机变量的值越大,则两变量有关系的程度的错误率更低,故越大,判定“两变量有关系”的错误率更低,D选项正确.故选:ABD..给出下列命题,其中正确命题为( )A.已知数据,满足:,若去掉后组成一组新数据,则新数据的方差为168B.随机变量服从正态分布,若,则C.一组数据的线性回归方程为,若,则D.对于独立性检验,随机变量的值越大,则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小.ACD【详解】对A,如图,令中点为,中点为,连接,又正方体中,为棱的中点,可得,,平面,平面,又,且平面,平面平面,又平面,且平面,平面,又为正方形内一个动点(包括边界),平面平面,而平面平面,,即的轨迹为线段.由棱长为2的正方体得线段的长度为,故选项A正确;对B,当为线段中点时,由可得,又中点为,中点为,,而,,故选项B不正确;对C,由正方体侧棱底面,三棱锥体积为,所以面积最小时,体积最小,如图,,易得在处时最小,此时,所以体积最小值为,故选项C正确;对D,如图,当在处时,三棱锥的体积最大时,由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心,,,,所以底面为直角三角形,所以在底面的射影为中点,设为,如图,设外接球半径为,由,,可得外接球半径,外接球的表面积为,故选项D正确.故选:ABD. .如图,棱长为2的正方体中,为棱的中点,为正方形内一个动点(包括边界),且平面,则下列说法正确的有( ) A.动点轨迹的长度为B.与不可能垂直C.三棱锥体积的最小值为D.当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为.ABD【详解】由题意可知:抛物线的焦点为,准线为,即, 设,则,可得,因为,即,可知为等边三角形,即,且∥x轴,可知直线的倾斜角为,斜率为,故A正确;则直线,联立方程,解得或,即,,则,可得,在中,,且,可知为最大角,且为锐角,所以是锐角三角形,故B正确;四边形的面积为,故C错误;因为,所以,故D正确;故选:ABD..已知抛物线的焦点为,准线交轴于点,直线经过且与交于两点,其中点A在第一象限,线段的中点在轴上的射影为点.若,则( )A.的斜率为B.是锐角三角形C.四边形的面积是D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分..【详解】因为“使”为假命题,所以“,”为真命题,其等价于在上恒成立,又因为对勾函数在上单调递减,在上单调递增,而,所以,所以,即实数的取值范围为..若“使”为假命题,则实数的取值范围为___________...在中,,∠,D为线段AB靠近点的三等分点,E为线段CD的中点,若,则的最大值为________..360【解析】∵,∴,列举可知:①(1,2,3)……(1,2,6)有4个;②(1,3,4),……,(1,3,6)有3个;③(1,4,5)有1个;④(2,3,4),(2,3,5)有2个;故共有10个组合,∴共计有个这样的数列。.将这七个数随机地排成一个数列,记第i项为,若,,则这样的数列共有个.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..【解析】(1)设,,在中,由正弦定理得,,,代入已知化简得,又在中有:,即,【方法一】∵,即,所以,所以.【方法二】∵,即,所以,所以.(2)在中有,,,由正弦定理得:,,,因在中,,,,所以,,当时,等号成立,∴周长的取值范围是..已知的内角,,的对边分别为,,,若.(1)求的值;(2)若的面积为,求周长的取值范围..【解析】(1)∵,当时,,两式相减得:,整理得,……4分∵,∴,当时,,∴(舍)或,……6分∴是以1为首项,1为公差的等差数列,则;……7分(2)由(1)知,,……9分∴,……10分由,令,…11分则时,……13分所以,即随着增大,减小,所以.……15分.已知正项数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,若数列满足,且数列的前n项和为,若恒成立,求的取值范围..【详解】(1)取弧中点,则,以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,连接,在中,,,则,于是,设,则,其中,,因此,即,所以.(2)由平面平面,得,又,则,而平面,则平面,即为平面的一个法向量,,由平面,得,又,解得,此时,设是平面的法向量,则,取,得,设是平面的法向量,则,取,得,则平面FOD与平面夹角的余弦值为.(3),则点到直线的距离,当时,即的坐标为时,点到直线的距离取最大值为.如图所示,半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中,是半圆弧上(不含)的动点,为圆柱的一条母线,点在半圆柱下底面所在平面内,.(1)求证:;(2)若平面,求平面与平面夹角的余弦值;(3)求点到直线距离的最大值..【详解】(1)∵渐近线方程为,可设双曲线方程为,∵点在双曲线上,∴,所以的方程为;(2)①当直线中又一条直线的斜率为,另一条直线的斜率不存在是,直线与轴重合,不符合题意;所以直线的斜率均存在且不为,解法一:Ax1,y1,Bx2,y2,,,设的方程为,由,得,∴恒成立,,∴,∵∴∴,同理因为、、三点共线,所以,∴化简得:;解法二:设的方程为,Ax1,y1,Bx2,y2,,,由,得,则,所以,所以,则,所以,同理可得,因为、、三点共线,所以,又,所以,因为,所以;②,所以,设,则,所以,∴,∴,故..已知双曲线的中心为坐标原点,渐近线方程为,点在双曲线上.互相垂直的两条直线均过点,且,直线交于两点,直线交于两点,分别为弦和的中点.(1)求的方程;(2)若直线交轴于点,设.①求;②记,,求..【详解】(1),其中为常数.而,即,所以,所以.(2)联立,解得,当时,,令,则围成的面积(3)令,由题意可知,,满足,即,即在上单调递增,进而在恒成立,在恒成立.,若,则在上恒成立,故在上为增函数,故;若,则时,,故在上为减函数,故时,,与题设矛盾;故.【点睛】关键点点睛:本题第三步关键在于利用,都满足,得出函数在上单调递增,再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围..如果函数Fx的导数为,可记为,若,则表示曲线y=f(x),直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.如:,其中为常数;,则表及轴围成图形面积为4.(1)若,求的表达式;(2)求曲线与直线所围成图形的面积;(3)若,其中,对,若,都满足,求的取值范围.
湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 Word版含解析
2024-10-02
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