数学-吉林四校联考2024年高二上学期9月月考

2024~2025（上）高二年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.+−=1.直线xy320的倾斜角为（）πππ5πA.B.C.D.6436∥2.若l1:x−my−=10与lm2:(−2)xy−3+=10是两条不同的直线，则“m=−1”是“ll12”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知直线l的一个方向向量m=(3,−2,1)，且直线l经过Aa(,2,−1)和Bb(−2,3,)两点，则ab+=（）A.−2B.−1C.1D.24.已知a=(2,3,1)，b=(1,2,2−−)，则a在b上的投影向量为（）22A.2bB.−2bC.bD.−b335.下列关于空间向量的说法中错误的是（）A.平行于同一个平面的向量叫做共面向量B.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底第1页/共5页学科网（北京）股份有限公司C.直线可以由其上一点和它的方向向量确定D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，6.ABCD−A111BCD1PBDPD=3PBAA1=a，则（）AB11=b,AD11=cPC1=13113A.abc++B.abc−+2444413131C.−+abc+D.abc−+4444437.如图，直线yx=+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点43M，N恰好落在直线yx=+3上，若点N在第二象限内，则tan∠AON的值为（）41111A.B.C.D.76588.在棱长为2的正方体ABCD−A111BCD1中，EF是正方体ABCD−A111BCD1外接球的直径，点P是正方体表面上的一点，则的取值范围是（）ABCD−A111BCD1PE⋅PFA.[−2,0]B.[−1,0]C.[0,1]D.[0,2]二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若空间向量a，b满足||ab=，则ab=B.空间任意两个单位向量必相等在正方体−中，必有C.ABCDA111BCD1BD=B11DD.向量a=(1,1,0)的模为2已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数的值可能为10.l1xy−+=10l2xym−+=02m第2页/共5页学科网（北京）股份有限公司（）A.0B.1C.2D.－111.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A111BCD1中，E为BB1的中点，F为AD11的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A.DB1=32向量与所成角的余弦值为15B.AEAC15C.平面AEF的一个法向量是(4,−1,2)821D.点D到平面AEF的距离为21三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.212.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于a的方程28a+an+=0的两根，若ll12⊥，则实数n=______．13.在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为A,B,C,AC=2,AB=23,BC=4.现移动边AC，使得点AC,分别在x轴､y轴的正半轴上运动，则OB（点O为坐标原点）的最大值为__________.14.已知a=(1,1,1)，by=(0,,1)(0≤≤y1)，则cosab,最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.第3页/共5页学科网（北京）股份有限公司15.已知直线l1:x+my+=10，l2:2xy−−=40，l3:3xy+−=10．（1）若这三条直线交于一点，求实数m的值；（2）若三条直线能构成三角形，求m满足的条件．16.如图，在直三棱柱ABC−A111BC中，AC⊥BC，AC=1，BC=2，CC1=3，点D是棱AB的中点.（1）证明：AC1//平面B1CD；（2）求直线AB1与平面B1CD所成角的正弦值.17.已知直线l:(2m+1)x−(3+my)+m−=70．（1）m为何值时，点Q(3,4)到直线l的距离最大?并求出最大值；（2）若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求AOB（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．18.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A111BCD1中，点E是棱AB11上的一点，且A11E=2EB，点F是棱AD11上的一点，且A11F=2FD．（1）求异面直线AD1与CF所成角的余弦值；（2）求直线BD到平面CEF的距离．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD，PC=33，点E是棱PB的中点，点F是棱PC上的一点，且PF=2FC.第4页/共5页学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面AEC⊥平面PBC；（2）求平面AEF和平面AFC夹角的大小.第5页/共5页学科网（北京）股份有限公司2024~2025（上）高二年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.+−=1.直线xy320的倾斜角为（）πππ5πA.B.C.D.6436【答案】D【解析】【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.【详解】设斜率为k，倾斜角为α，3235π∵yx=−+3，∴k=−=tanα，α=．3336故选：D．的∥2.若l1:x−my−=10与lm2:(−2)xy−3+=10是两条不同直线，则“m=−1”是“ll12”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】第1页/共17页学科网（北京）股份有限公司【分析】利用两直线平行解出m的值即可.∥【详解】由题意，若ll12，所以13×−()=(mm−2)(−)，解得m=−1或m=3，∥经检验，m=−1或m=3时，ll12，∥则“m=−1”是“ll12”的充分不必要条件，故选：C．3.已知直线l的一个方向向量m=(3,−2,1)，且直线l经过Aa(,2,−1)和Bb(−2,3,)两点，则ab+=（）A.−2B.−1C.1D.2【答案】A【解析】【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可.【详解】因为AB=−−(2,1,1ab+)，直线l的一个方向向量为m=(3,−2,1)，所以有向量AB与向量为m共线，−−211ab+13所以==，解得a=−，b=−，3−2122所以ab+=−2，故选：A.4.已知a=(2,3,1)，b=(1,2,2−−)，则a在b上的投影向量为（）22A.2bB.−2bC.bD.−b33【答案】D【解析】【分析】利用投影向量公式进行求解ab⋅(2,3,1)⋅(1,−−2,2)262−−2⋅=b⋅=b⋅=−⋅bb【详解】2222，b12+−()+−(2)932故a在b上的投影向量为−b．3故选：D．5.下列关于空间向量的说法中错误的是（）A.平行于同一个平面的向量叫做共面向量第2页/共17页学科网（北京）股份有限公司B.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底C.直线可以由其上一点和它的方向向量确定D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量【答案】B【解析】【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项.【详解】A：平行于平面α的向量，均可平移至一个平行于α的平面，故它们为共面向量，正确；B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确；D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确.故选：B在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，6.ABCD−A111BCD1PBDPD=3PBAA1=a，则（）AB11=b,AD11=cPC1=13113A.abc++B.abc−+2444413131C.−+abc+D.abc−+44444【答案】C【解析】【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可.【详解】因为平行六面体ABCD−A111BCD1中，点P是线段BD上的一点，且PD=3PB，所以PC1=AC11111111−=APAB+AD−−ABBP1=AB+AD−AB−−AABD11111114111−−−−=AB11+AD11AB11AA1(AD11AB11)43113=AD+AB−AA=−+ab+c．411411144故选：C．第3页/共17页学科网（北京）股份有限公司37.如图，直线yx=+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点43M，N恰好落在直线yx=+3上，若点N在第二象限内，则tan∠AON的值为（）41111A.B.C.D.7658【答案】A【解析】【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，根据等面积求出OC，运用在直角三角形等知识求出结果.【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，33因为N在直线yx=+3上且在第二象限内，设Nx,3x+，443则DN=+=−x3,ODx，又AB(−4,0),(0,3)，即OA=4,OB=3，411所以AB=5，在AOB中，由三角形的面积公式得：OBOA=ABOC，2212所以OC=，512在中，=∠=，所以OC，RtNOMOMON,MNO45sin45==5ONON122即ON=，5第4页/共17页学科网（北京）股份有限公司222222在中，，即3122，RtNDOND+=DOONxx+3+−()=45841284解得：xx=−=,，因为N在第二象限内，所以x=−，122525251284ND1所ND=,OD=，所以tan∠==AON，2525ON7故选：A.8.在棱长为2的正方体ABCD−A111BCD1中，EF是正方体ABCD−A111BCD1外接球的直径，点P是正方体表面上的一点，则的取值范围是（）ABCD−A111BCD1PE⋅PFA.[−2,0]B.[−1,0