25届高三数学试题参考答案1.C 存在量词命题的否定为全称量词命题.2.A 因为犃=(-槡3,槡3),犅=(-1,2),所以犃∩犅=(-1,槡3).213.D 依题意,狓<0,狉=|犗犘|=槡狓2+4,其中,犗为坐标原点,则sinα==,所以狓槡狓2+43=-42槡.4.A 由犳(狓)=(狓-2)狀,得犳′(狓)=狀(狓-2)狀-1,则当狀=2犽+1,犽∈犖时,犳(狓)=(狓-2)狀是增函数,故“狀=1”是“犳(狓)是增函数”的充分不必要条件.烄98狊-2狋-+50,狋<8,5.B 由题意,新设备生产的产品可获得的年平均利润狔==烅狋狋烆-狋2+10狋-2,狋≥8.9898当狋<8时,2狋+≥28,当且仅当狋=7时,等号成立,则-2狋-+50≤22.当狋≥8时,-狋2狋狋+10狋-2=-(狋-5)2+23≤14,当且仅当狋=8时,等号成立.故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时,新设备运行的时间狋=7.π16.B (方法一)因为犳(狓)的图象关于点-,对称,所以犳(-狓)+犳(-π+狓)=1,(22)又犳(狓)+犳(-狓)=1,所以犳(狓)=犳(-π+狓),所以犳(狓)是周期为π的周期函数,所以119ππππ3犳=犳10π-=犳-=1-犳=.(12)(12)(12)(12)411119π11119π11(方法二)取犳(狓)=-sin2狓满足题意,得犳=-sin=-sin20π22(12)22622(π11π3-=+sin=.6)22647.B 因为0<狓<π,所以0<ω狓<ωπ,令犳(狓)=sinω狓+1=0,则方程sinω狓=-1有2个7π11π711711根,所以<ωπ≤,解得<ω≤,则ω的取值范围是,.2222(22]8.D 令犵(狓)=犳(狓)-1=狓3+3狓,则犵′(狓)=3狓2+3>0恒成立,则犵(狓)在犚上单调递增,且犵(狓)是奇函数.由犳(sin狓)+犳(犿+cos狓)=2,得犳(sin狓)-1=-[犳(犿+cos狓)-1],即犵(sin狓)=犵(-犿-cos狓),从而sin狓=-犿-cos狓,即犿=-sin狓-cos狓=π-槡2sin狓+∈[-槡2,槡2].(4)2狓29.AD 对于A,当狓>0时,=≤1,A正确.狓2+11狓+狓对于B,若犪=1,犫=-1,犮=-1,犱=-2,则犪犮=-1,犫犱=2,此时犪犮<犫犱,B错误.111-犪2犪2+1+(犪2+1+1-犪2)2++11(犪2+11-犪2)犪2+11-犪2对于C,+==≥犪2+11-犪222【高三数学·参考答案 第 1页(共5页)】25-73犆书1-犪2犪2+12+2·犪2+11-犪2槡=2,当且仅当犪=0时,等号成立,C错误.2对于D,因为犪>犫>1>犮>0,所以犫犮-1>犪犮-1,故犪犫犮>犫犪犮,D正确.ππ2ππ10.AD 由图可知,犳(狓)的最小正周期犜==,则ω=2,-=+犽π,犽∈犣,由0<ω23φ2φπ1π槡37π<π,得=,即犳(狓)=tan2狓-,则犳(0)=-.由犳(狓)的图象关于点,0φ62(6)6(12)7π对称,可得函数狔=|犳(狓)|的图象关于直线狓=对称.1211loglog110911111.ACD 犪=24100=2210=,犫=ln=-ln=-ln1-,犪-犫=+ln1-.10910(10)10(10)1-狓令犳(狓)=狓+ln(1-狓),狓∈(0,1),则犳′(狓)=1-=<0,犳(狓)在(0,1)上单调1-狓1-狓1槡1010910递减,所以犳<犳(0)=0,即犪<犫.因为犮==-,所以犫-犮=ln-(10)30槡9槡1091091111+.令犺(狓)=ln狓-槡狓+,狓∈(1,+∞),则犺′(狓)=--=槡9槡10槡狓狓2槡狓2槡狓32狓-狓-1-(狓-1)210槡槡,()在(,)上单调递减,所以(),即3=3<0犺狓1+∞犺()<犺1=0犫2292狓2狓<犮.27+25-4412.12 由题可得这两个竞赛都参加的学生有=4人,所以这两个竞赛都没参加的2学生有60-(44+4)=12人.ππ22槡2π13.- 由cos2α=cosα+,得cosα-sinα=(cosα-sinα).因为α∈-,0,所12(4)2(2)槡2π1ππ以cosα-sinα≠0,则cosα+sinα=,则sinα+=.由α∈-,0,得α+∈2(4)2(2)4πππππ-,,则α+=,解得α=-.(44)4612犳(狓1)犳(狓2)14.8 因为狓1,狓2∈(1,+∞),且狓1<狓2,恒有<,狓2狓1所以狓1犳(狓1)<狓2犳(狓2)在狓∈(1,+∞)上恒成立.e3狓狓犪+1设犵(狓)=狓犳(狓)=-,狓∈(1,+∞),3犪+1e3狓狓犪+1可得函数犵(狓)=-在狓∈(1,+∞)上单调递增,3犪+1所以犵′(狓)=e3狓-狓犪≥0在狓∈(1,+∞)上恒成立,故3狓≥犪ln狓.3狓当狓∈(1,+∞)时,犪≤恒成立.ln狓3狓3(ln狓-1)设犺(狓)=,狓∈(1,+∞),则犺′(狓)=,ln狓(ln狓)2【高三数学·参考答案 第 2页(共5页)】25-73犆令犺′(狓)=0,得狓=e,当狓∈(1,e)时,犺′(狓)<0,犺(狓)单调递减,当狓∈(e,+∞)时,犺′(狓)>0,犺(狓)单调递增,所以犺(狓)min=犺(e)=3e≈8.2,又因为犪∈犖,所以犪的最大值为8.15.解:(1)因为命题狆:狓∈[0,π],sin狓-犪≤cos狓为假命题,所以瓙狆:狓∈[0,π],sin狓-犪>cos狓为真命题.…………………………………………………………………………3分由sin狓-犪>cos狓,得sin狓-cos狓>犪,………………………………………………4分πππ3πsin狓-cos狓=槡2sin狓-,因为狓∈[0,π],所以狓-∈-,,(4)4[44]π所以犪<槡2sin狓-,即犪<-1.(4)所以犃={犪|犪<-1}.………………………………………………………………………7分(2)因为“犪∈犃”是“犪∈犅”的必要不充分条件,所以集合犅是集合犃的真子集,……9分则犅={犪|犪<-2}符合题意(答案不唯一).……………………………………………13分16.解:(1)因为(2犮+犫)cos犃+犪cos犅=0,所以2犮cos犃+犫cos犃+犪cos犅=0.由正弦定理得sin犃cos犅+cos犃sin犅=-2sin犆cos犃,………………………………2分则sin(犃+犅)=-2sin犆cos犃,…………………………………………………………3分即sin犆=-2sin犆cos犃.…………………………………………………………………4分1在△犃犅犆中,sin犆≠0,故cos犃=-.…………………………………………………6分22π因为犃∈(0,π),所以犃=.………………………………………………………………7分3153槡12π153槡(2)因为△犃犅犆的面积为,所以犫犮sin=,得犫犮=15.…………………9分4234由余弦定理得犪2=犫2+犮2-2犫犮cos犃,则犪2=(犫+犮)2-犫犮.…………………………12分又犪+犫+犮=15,所以犪2=(15-犪)2-15,解得犪=7.…………………………………15分17.解:(1)因为犪=4,所以犳(狓)=狓2-4ln(狓+1),狓>-1,………………………………1分42(狓+2)(狓-1)则犳′(狓)=2狓-=.…………………………………………………3分狓+1狓+1当狓∈(-1,1)时,犳′(狓)<0,犳(狓)单调递减;当狓∈(1,+∞)时,犳′(狓)>0,犳(狓)单调递增.故犳(狓)的极小值点为1,无极大值点.……………………………………………………5分犪2狓2+2狓-犪(2)由犳(狓)=狓2-犪ln(狓+1),狓>-1,得犳′(狓)=2狓-=.………6分狓+1狓+112-1+槡1+2犪若犪>-,即4+8犪>0,则方程2狓+2狓-犪=0的解为狓1=,狓2=22-1-槡1+2犪.………………………………………………………………………………7分21-1-槡1+2犪若0<1+2犪<1,即-<犪<0,则狓1>狓2>-1.当狓∈-1,∪2(2)-1+槡1+2犪-1-槡1+2犪-1+槡1+2犪,+∞时,犳′(狓)>0,当狓∈,时,犳′(狓)<0,(2)(22)【高三数学·参考答案 第 3页(共5页)】25-73犆-1-槡1+2犪-1+槡1+2犪则犳(狓)的单调递增区间为-1,和,+∞,单调递减区间为(2)(2)-1-槡1+2犪-1+槡1+2犪,.…………………………………………………………11分(22)-1+槡1+2犪若1+2犪≥1,即犪≥0,则狓2≤-1<狓1.当狓∈-1,时,犳′(狓)<0,当狓∈(2)-1+槡1+2犪-1+槡1+2犪,+∞时,犳′(狓)>0,则犳(狓)的单调递增区间为,+∞,单(2)(2)-1+槡1+2犪调递减区间为-1,.……………………………………………………15分(2)18.(1)解:由题可得犳′(狓)=-2cos狓sin狓·cos2狓+cos2狓·(-2sin2狓)=-2sin狓cos狓·(4cos2狓-1)=-2sin狓cos狓(2cos狓-1)(2cos狓+1).…………………………………2分ππ2π令犳′(狓)=0在狓∈(0,π)上的根为狓1=,狓2=,狓3=,…………………………3分323πππ当狓∈0,时,犳′(狓)<0,犳(狓)单调递减,当狓∈,时,犳′(狓)>0,犳(狓)单调递增,(3)(32)π2π2π当狓∈,时,犳′(狓)<0,犳(狓)单调递减,当狓∈,π时,犳′(狓)>0,犳(狓)单调递增.(23)(3)ππ2πππ2π综上,犳(狓)在0,和,上单调递减,在,和,π上单调递增.……6分(3)(23)(32)(3)(2)解:因为犳(狓+π)=cos2(狓+π)cos2(狓+π)=cos2狓cos2狓=犳(狓),所以犳(狓)的一个正周期为π.……………………………………………………………8分π1π2π1根据(1)中结论,犳(0)=1,犳=-,犳=0,犳=-,犳(π)=1,………9分(3)8(2)(3)81所以犳(狓)的最大值为1,最小值为-.………………………………………………10分8(3)证明:cos狓sin33狓犳(狓)犳(2狓)犳(4狓)…犳(2狀狓)=sin33狓cos3狓cos32狓cos34狓…cos32狀狓·cos2狀+1狓≤|sin33狓cos3狓cos32狓cos34狓…cos32狀狓|,……………………………………12分又sin3狓=sin狓cos2狓+cos狓sin2狓=sin狓(1-2sin2狓)+2sin狓(1-sin2狓)=3sin狓-4sin3狓,………………………………………………………………………………………13分所以|sin3狓||cos狓cos2狓cos4狓cos8狓…cos2狀狓|=|3-4sin2狓||sin狓||cos狓cos2狓cos22狓…cos2狀狓||sin2狀+1狓|3≤3|sin狓||cos狓cos2狓cos4狓…cos2狀狓|≤3·≤,2狀+12狀+127所以cos狓sin33狓犳(狓)犳(2狓)犳(4狓)…犳(2狀狓)≤,得证.…………………………17分23狀+311119.(1)解:(ⅰ)因为点犃,狔1在曲线犳(狓)=槡狓上,所以狔1==.……………1分(4)槡4211由犳(狓)=槡狓,得犳′(狓)=,则犳′()=1,…………………………………………2分2槡狓41则曲线狔=犳(狓)在点犃处的切线方程为狔=狓+.……………………………………3分4【高三数学·参考答案 第 4页(共5页)】25-73犆(ⅱ)由犳(狓)=槡狓,得犵(狓)=狓2(狓≥0).………………………………………………4分11根据对称性可设犃,犇关于直线狔=狓对称,可得犇,,则|犃犇|=(24)11-112112槡242-+-=,犽犃犇==-1.……………………………………5分(24)(42)411槡-
2025届四川高三金太阳10月联考(25-73C)数学答案
2024-10-14
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