山东省实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

山东省实验中学2023级十月测试数学试题说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点关于z轴的对称点为B，则等于（）A. B. C.2 D.2.如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（）A. B. C. D.3.直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ）A. B. C. D.5.“”是“直线与平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件6.正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（）A. B. C. D.7.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（）A. B. C. D.8.设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，，则下列结论正确的是（）A.与垂直 B.与共线C.与所成角为锐角 D.，，，可作为空间向量的一组基底10.已知两直线，，则下列说法正确的是（）A.对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行B.存实数m，使直线垂直于x轴C.存在实数m，使直线，互相垂直D.当时，直线的方向向量不存在11.正三棱柱中，，点满足BP=λBC+μBB1，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若与垂直，则＝_____.13.已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________14.在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间中三点，设.（1）若，且，求向量；（2）求以为一组邻边的平行四边形的面积.16.如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，，，点E是AP的中点，F是PB上的点，.（1）求证：点F在平面ECD内；（2）求点P到平面ECD的距离.17.已知直线l过点，O为坐标原点．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24．ⅰ）求直线l方程；ⅱ）若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段上．（1）求证：平面；（2）设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形面积；（2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，.①求证：；②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.山东省实验中学2023级十月测试数学试题说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点关于z轴的对称点为B，则等于（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.【详解】点关于z轴的对称点为B，所以.故选：A.2.如图，在斜三棱柱中，M为BC中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】故选：A3.直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为，则设直线为，再将代入求出，从而可得直线方程.【详解】方法一∵直线的一个方向向量为，∴，∴直线的方程为，即．方法二由题意知直线的一个法向量为，∴直线的方程可设为，将点代入得，故所求直线的方程为．故选：B4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意可得，则，即可得到方程组，解得、的值，即可得解.【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为且，所以，则，即，所以，解得，所以.故选：B5.“”是“直线与平行”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当时，直线与平行；当直线与平行时，有且，解得，故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C6.正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取为空间向量的一个基底，利用空间向量运算求解即得.【详解】棱长为2的正四面体中，向量两两的夹角都为，由点D是的中点，得，而，所以.故选：D7.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以正方体的一顶点为坐标原点建立坐标系，设正方形的一对角线的倾斜角为，则，可得到正方形边的倾斜角，利用两角和差的正切公式，即可求解.【详解】以正方形的顶点为坐标原点，建立如图坐标系，根据题意，对角线的斜率为，设其倾斜角为，则正方形的倾斜角分别为，又，所以两直角边斜率分别为或.故选:B.8.设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，为锐角等价于，即，根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系：则，，，，，，，，所以，，由为锐角得，即，所以，即，解得：，当时，点位于点处，此时显然是锐角，符合题意，所以，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是为锐角等价于，即，还需利用，求出PA、的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，，则下列结论正确的是（）A.与垂直 B.与共线C.与所成角为锐角 D.，，，可作为空间向量的一组基底【答案】BC【解析】【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A：，故与不垂直，故A错误；对B：由、，有，故与共线，故B正确；对C：，且与不共线，故与所成角为锐角，故C正确；对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误.故选：BC.10.已知两直线，，则下列说法正确的是（）A.对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行B.存在实数m，使直线垂直于x轴C.存在实数m，使直线，互相垂直D.当时，直线的方向向量不存在【答案】AC【解析】【分析】根据直线平行以及垂直满足的系数关系，即可结合方向向量的定义逐一求解.【详解】若两直线的方向向量平行，则，则无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A正确，由于的斜率为，所以直线不可能垂直于x轴，B错误，当时，此时，，此时两直线垂直，C正确，当时，直线，则其方向向量可以为，故D错误，故选：AC11.在正三棱柱中，，点满足BP=λBC+μBB1，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，BP=BC+μBB1=BC+μCC1，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，BP=λBC+BB1=BB1+λB1C1，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，BP=12BC+μBB1，取，中点分别为，，则BP=BQ+μQH，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则A1P=−32,0,μ−1，BP=0,−12,μ，A1P⋅BP=μμ−1=0，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，BP=λBC+12BB1，取，中点为．BP=BM+λMN，所以点轨迹为线段．设，因为A32，0,0，所以AP=−32,y0,12，A1B=−32,12,−1，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若与垂直，则＝_____.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.【详解】向量与垂直，则有，解得，于是，所以.故答案为：13.已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________【答案】【解析】【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围．【详解】因，，，所以，．直线过点且与线段相交，如下图所示：或，直线的斜率的取值范围是：．故答案为：．14.在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为_______.【答案】【解析】【分析】由边上和边上的高线所在的直线方程，可得边和边所在直线的斜率，再由点坐标，可求边和边所在直线的方程，通过联立方程组，求出两点的坐标，可求边所在的直线方程【详解】边上的高线所在的直线方程为，得，边上的高线所在的直线方程为，得已知，则AC边所在的直线方程为，即，则AB边所在的直线方程为，即.由，得．由，得．则BC边所在的直线方程为，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间中三点，设.（1）若，且，求向量；（2）求以为一组邻边的平行四边形的面积.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可；（2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可.【小问1详解】由可得，若，则，又，所以，解得，所以或.【小问2详解】由可得，，所以，，，所以，所以，所以.16.如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，，，点E是AP的中点，F是PB上的点，.（1）求证：点F在平面ECD内；（2）