安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学 Word版含解析

合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷数学考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．设，均为单位向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知数列满足，若，则（）A．2 B．－2 C．－1 D．4．已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．5．已知，，则（）A． B． C． D．6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A．（1）和（10） B．（4）和（5） C．（5）和（6） D．（4）和（6）7．设，，，则（）A． B． C． D．8．定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O为坐标原点，点，，，，则（）A． B． C． D．10．三次函数叙述正确的是（）A．当时，函数无极值点 B．函数的图象关于点中心对称C．过点的切线有两条 D．当a<－3时，函数有3个零点11．已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数与3i在复平面内用向量和表示（其中i是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为______．13．函数在上的最大值为4，则m的取值范围是______．14．设a、b、，则的最大值是______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角A；（2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积．条件①：；条件②：；条件③：AC边上中线的长为．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k）．已知天然气的成本价为2.3元/．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位：元）关于实际单价x（单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数（a为常数，且，），且是奇函数．（1）求a的值；（2）若，都有成立，求实数m的取值范围．18．（17分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在处切线方程；（3）若有两解，，且，求证：．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知，都是正数，求证：；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】，∵，∴．故选D．2．【答案】C【解析】∵“”，∴平方得，即，则，即，反之也成立．故选C．3．【答案】C【解析】因为，，所以，，，所以数列的周期为3，所以．故选C．4．【答案】B【解析】对于A，因为，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，当，，时，，，，故C错误；对于D，因为，，所以，故D错误．故选B．5．【答案】B【解析】，则，即，可得，解得或．那么．故选B．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：．若S取最小值，则函数也取最小值，由二次函数的性质，可得函数的对称轴为，又∵x为正整数，故或6．故选C7．【答案】A【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增．∴在处取最小值，∴，（且），∴，∴；构造函数，，，∵，，，∴，在上递增，∴，∴，即，∴．故选A．8．【答案】C【解析】因为是奇函数，所以是偶函数，因为，所以，令，，在R上单调递增．又因为且是奇函数，所以的周期为3，，则，所以，则不等式，因为在R上单调递增，所以，即．故选C．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵，，，，∴，，，，，，易知，故A正确；∵，，∴，故B错误；，，∴，故C正确；，，故D错误．故选AC．10．【答案】ABD【解析】对于A：，，，单调递增，无极值点，故A正确；对于B：因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，，解得，即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；对于D：，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极大值为，所以若函数有3个零点，有极小值为，得到，故D正确．故选ABD．11．【答案】AC【解析】∵，∴，∴，∵对任意的，都存在，使得成立，∴，，∴，∴，，在上单调递减．在上单调递增．当时，，，，故A正确，当时，，，故B错误，当时，，，，故C正确，当时，，．故错误．故选AC．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】【解析】由题知，，，∴．故本题答案为．13．【答案】【解析】当时，函数的图象是由向上平移个单位后，再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意，当时，函数图象是由向下平移m个单位后，再把x轴下方的图象对称到上方，再向上平移m个单位，根据图象可知满足题意，时不合题意．故本题答案为．14．【答案】【解析】不妨设，则，，∴，当且仅当，，，即，，时，等号成立．故本题答案为．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为，由正弦定理得．即：，所以，所以，即，因为，所以，得；（2）选条件②：．在中，由余弦定理得：，即．整理得，解得或．当时，的面积为：，当c=5时，的面积为：，选条件③：AC边上中线的长为，设AC边中点为M，连接BM，则，，在中，由余弦定理得，即．整理得，解得或（舍）．所以的面积为．16．【解析】（1），；（2）由题意可知要同时满足以下条件：，∴，即单价最低定为2.6元/．17．【解析】（1），因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，；（2）因为，，所以，所以，，令，，，由于在单调递增，所以．18．【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数；（2），，所以处切线方程为：，即；（3）先证，由（1）可知：，要证，也就是要证：，令，，则，所以在区间内单调递增，，即，再证，由（2）可知曲线在点处的切线方程为，令，，∴在处取得极大值为0，故当时，，，则，即，又，，∴．19．【解析】（1）将20分成正整数之和，即，假定乘积已经最大．若，则将与合并为一个数，其和不变，乘积由增加到，说明原来的p不是最大，不满足假设，故，同理．将每个大于2的拆成2，之和，和不变，乘积．故所有的只能取2，3，4之一，而，所以将取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p中2的个数不超过2个．那只能是，最大乘积为；（2）①证明：先证：．令，则，，且，故，其中，∴，即，，∴．②让n固定，设n个正实数之和为20，由①可知，，要是最大，最大即可，令，其中，，∴时，单调递增，时，单调递减，而，所以这些正实数乘积的最大值为．