广东省清远市2024-2025学年高三上学期教学质量检测（一）数学试题

2025届清远市普通高中毕业年级教学质量检测（一）高三数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间150分钟。2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。1．若集合，则（）A． B． C． D．2．已知i是虚数单位，若，则复数的虚部为（）A．4 B．2 C． D．3．已知向量，且，则的值为（）A． B．6 C． D．4．函数在区间上的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（）A． B． C． D．6．设函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．7．记函数，设，甲：；乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知，则A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要承。全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数，下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期是B．把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象C．函数的图象关于点中心对称D．函数的图象在区间上单调递增10．现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据，下列说法正确的是（）A．的下四分位数为B．的中位数为C．的平均数小于的平均数D．的方差是的方差的4倍．11．设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（）A．为偶函数 B．的图像关于原点对称C． D．的极小值为3三、填空题：本大题共3小题，每小题5分．共15分。12．㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有____________人．（参考数据：，，）13．已知函数是定义在上的奇函数，当时．，则____________；当时，____________．（第一个空2分，第二个空3分）14．已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且，则在上的零点个数为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为．已知．（1）求的值；（2）求的面积．16．（本小题满分15分）已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有门大炮同时对某一目标各射击一次．（1）当时，求给好击中目标2次的概率（精确到0.01）；（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（）17．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，．点分别在棱上，．（1）若，证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本小题满分17分）已知函数图象的对称中心为．（1）求和的值；（2）若对于任意的，很有植成立。求实数的取值范围．19．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，过圆心在原点，半径为的圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，，延长与圆交于另一点，延长与四交于另一点。（1）求椭圆的标准方程；（2）假设向量的夹角为，定义：．（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的取值范围．2025届清远市普通高中毕业年级教学质量检测（一）·高三数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CDBDBAAC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ACDBCDAB1．C因为，故，故选C．2．D由题得．故选D．3．B由得，故选B．4．D，当且仅当，即时取等号，故选D．5．B由题可知C、D是奇函数，故排除；对于选项A，图像是开口向下的抛物线，在上单调递减，故排除；对于选项B，，所以函数在定义域内是偶函数，当时，在上单调递增，故选B．6．A在上单调递减，在上单调递增，故，解得（也可以用求导解得），故选A．7．A由题得，乙：．因为甲：，故．所以；所以，故甲是乙的充分条件；令，则．故，故，故，因此甲不是乙的必要条件，因此甲是乙的充分不必要条件，故选A．8．C，构造，则在上恒成立，故在上单调递减，所以，故，即，，而，其中，所以，即，又，所以，故，故．故选C．9．ACD函数的最小正周期是，所以A正确；函数的图象向右平移个单位长度可得到的图像，所以B错误；，所以C正确；由，解得，所以函数的增区间是，令，得到增区间，因为，所以D正确，故选ACD．10．BCD下四分位数足第25百分位数，的下四分位数为，所以A错误；共有21个数据，中位数是这组数据的第11项，所以B正确；因为数据是从小到大排列，成立，所以C正确；，的方差是的方差的倍，所以D正确．故选BCD．11．AB因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，则为偶函数，A正确；由得，，两边取导数得，，即，所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，B正确；由上可知，，又，所以，所以，则，所以8为的周期，则，C错误；由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，在上单调递减，所以在上单调递减，又的图象关于对称，所以在上单调递增，由周期性可知，在上单调递增，所以当时，取得极小值，为，D错误，故选AB．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．230，身高超过180cm的男生的人数约为．13．；当，．14．6由函数相邻两条对称轴之间的距离为，得，故．又因为，即，所以或，所以或，又因为，所以，故，因为，故，结合正弦函数的图象可知，函数在上的零点个数为6．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．解：（1）根据正弦定理得，．由余弦定理，得，，（负值舍去），．（2），．，．6．解：（1）5门大炮同时对某一目标各射击一次，设击中目标的次数为，则，故恰好击中目标2次的概率为．（2）由题意，门大炮同时对某一目标各射击一次，击中0次的概率为，则至少击中一次的概率为，则，即，解得，因为，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要3门大炮．17．解：（1）由题得，在直叫棱柱中，，所以，所以，又因为，故．又因为，所以平面平面．（2）以为坐标原点，所在直线分別为轴建立空间直角坐标系．则，则．设平而的法向量，则，令，得．，又，．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）由，可得，令，得，因为函数图像的对称中心为，因此，解得．（2）由（1）可知，对于任意的，都有恒成立，即恒成立．令，可得，令，即，即，①当时，，则在上单调递增，，符合题意；②当时，，则，则在上单调递增，，符合题意；③当时，，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在1：单调递增，所以，令，则，所以在上单调递减，所以，不合题意；综上所述，．19．解：（1）椭圆，短轴长为2，所以，离心率，又，解得，椭圆的标准方程为．（2）（ⅰ）证明：设，①当直线的斜率都存在时，设过与椭圆相切的直线方程为，联立直线与椭圆的方程，整理可得，，由题意可得，整理可得，设直线的斜率分別为，所以，又，所以，，即为圆的直径，．．②当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为，所以，也满足，所以，综上，。（ⅱ）设点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消可得，，由题意，整理可得，由求根公式得，所以直线的方程为，化简可得，即，经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或也满足，同理可得直线的方程，因为在直线上，所以，所以可得直线的方程为，而在圆上，所以，联立直线与椭圆的方程，整理可得，，弦长，又点到直线的距离，令，则，而，所以的面积的取值范围是，，的取值范围为．