第41届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题2024年10月26日9:00-12:00一、(50分)实验研究发现,某些原子核会释放出一个电子而转变为另一种原子核,释放出的电子的动能呈连续谱分布,这种现象被称为原子210核的β衰变。例如原子核83Bi发生β衰变释放出的电子的动能分布谱210(在83Bi静止的参考系中测得)如图1a所示。已知电子的静止质量푚 0.511MeV/c2。忽略电子在原子中的结合能。(1)记发生β衰变的母原子的静止质量、发生β衰变后的子原子的静止质量分别为푀 (푍,퐴)、푀 (푍+1,퐴),其中푍、퐴分别是母原子的原子序数、核子数。由于将原子的电子都电离掉而研究原子核的β衰变非常困难,因此通常在原子层次上考察原子核的β衰变。试给出原子发生β图1a衰变的条件。2102(2)已知83Bi的原子质量为MP209.984130amu(其中amu为原子质量单位,1amu931.494MeV/c),在β衰变后生成的原子质量为MD209.982883amu。假如在β衰变过程中除去释放出β电子之外没有210生成另外的新粒子,那么β电子的动能(以MeV为单位)是多大?设83Bi原子在初始时是静止的。(3)第(2)问得到的β电子的动能是完全确定的,这显然不符合实验观察到的连续谱的结果;所以在β衰变的过程中必然有其他粒子生成。若只生成了一个其他粒子,试根据图1a所示的实验结果估算该粒子的静止质量的范围。(4)研究表明,原子核发生β衰变的元过程是其中的一个中子n转变成了一个电子e 、一个质子p和一个其他粒子X。已知中子、电子和质子自身都具有固有的角动量,称为粒子的自旋;进一步的研究表明,中1h子、电子和质子的自旋的取值都是量子化的,它们各自在任意给定方向上的投影的大小都为(,h22π是普朗克常量)。设微观粒子的角动量为(它在任意给定方向上的最大投影为)、微观粒子的角动1L1l12量为(它在任意给定方向上的最大投影为l),这两个粒子的总角动量在任意给定方向上的L22LL1L2最大投影的可能值为。求粒子X的带电量和自旋。llll12,121,,ll12二、(50分)晶格的热振动问题常可简化成耦合的弹簧振子问题。考虑一个一维耦合弹簧振子系统模型。设有N(N1)个质量为M的大珠子,编号为1、3、5、···、2N1;N个质量为m的小珠子,编号为2、4、6、···、2N。这2N个珠子按编号从小到大的次序套在一个光滑、水平、闭合、刚性的固定大圆环上。所有编号相邻的珠子之间(包括1号和2N号)都由相同的、劲度系数为k的轻弹簧相连,并达到静力平衡状态。现研究上述一维耦合弹簧振子系统S在平衡状态附近的微振动。由于圆环半径远大于相邻珠子的间距,可近似认为每个珠子是各自在相应的直线上振动的质点。(1)试写出第i(i1,2,,2N)个珠子满足的运动方程,设其偏离平衡位置的位移为푥 ,푥 的正方向均与环的逆时针方向一致。(2)S有各种振动形式。其中有一类特别的振动模式,在此振动模式中所有珠子都以相同的频率作稳定的微振动。这称为S的本征模式,其频率称为本征频率。试求出S的所有可能的本征频率휔。提示:可尝试用波(行波)的形式(相邻珠子振动的相位差为훼)求解。(3)对于频率为휔的本征模式,设所有大珠子的振幅都为퐴,小珠子的振幅都为퐵。求(3.1)퐴和퐵之间的关系;(3.2)所有珠子在一个振荡周期内的平均动能Ek和S的总能量E,结果中均不能出现퐵。(设静力平第1页共5页衡状态的能量为0。)(4)假设1号珠子被锁定不动,但其余所有珠子仍可无摩擦滑动。试求出这种情况下S的所有微振动的本征频率휔;并对频率为휔的本征模式,导出其푥 =푥 (푡)(i1,2,,2N)的表达式(结果中均不能出现퐵)。(5)如1号珠子的锁定被解除,且其质量变为。即使在这种情况下,该系统也有一些本征频率휔完全不依赖于。试求出这种情况下S的所有不依赖于的微振动的本征频率휔;对于频率为휔的本征模式,试导出푥 =푥 (푡)(i1,2,,2N)的表达式(结果中均不能出现퐵)。三、(50分)本题中的一些物理量用复数表示。例如,电场强度的某分量随传播距离푙和时间푡变化的关系式ikl(t0)的复数表示为Et()Ee,其中和k分别为角频率和波矢的大小,휙 为初相位;퐸 是复数,而相应퐸是퐸 的模 퐸 ,余类推。第一部分:光学器件的矩阵表示。(1)(1.1)马赫-曾德尔(Mach-Zenhder,简称MZ)干涉仪示意图如图3a所示。入射光经过半透半反分束器,再经过上下两处全反镜(全反射镜),分为上路(射向M1)和下路(射向M2);再经过第二个相同的半透半反分束器后发生干涉。可调节光路,使第二个分束器下方的探测器探测的光强为零。这时入射光的能量去了哪里?作图并简明描述。(1.2)利用图3a所示的装置可研究分束器的透图3a:马赫-曾德尔干涉仪示意图(部分)射系数和反射系数之间的关系。这里分束器是一个50/50半透半反(对所有偏振)分光器件,即反射系数푟̃和透射系数푡̃的大小满足√2푟=|푟̃|=푡=|푡̃|=2反射、透射都会引入相位差,即푡̃푟̃=푟e ,푡̃=푡e ,=e ( )=e 푟̃试求휙为多少?(2)图3b给出了光的P、S偏振正方向的定义:在图3b(a)中,k为光的传播方向,P-S-k构成右手正交系,P方向又称为水平方向H,S方向又称为垂直方向V;图3b(b)画出了分束器涉及的入射、反射和透射光中的P、S、k方向,以反射为例,풌 、P 、S 分别代表反射光的传播方向、反射光中P、S偏振的正方向。经分束器后,反射光的P 、S 偏振分量均可用入射光的P 、S 分量表示퐸 =푎 퐸 +푏 퐸 ,퐸 =푐̃퐸 +푑 퐸 它们可由一个矩阵表示(a)(b) 图3b퐸 푎 푏 퐸 = 퐸 푐̃푑 퐸 上式中的2×2矩阵称为分束器的反射矩阵,余类推。已知分束器对P和S分 量的反射系数分别为푟̃ =푟 e和 푟̃ =푟 e,试写出分束器的反射矩阵푅 和透射矩阵푇 的具体形式(用本问中给的已知量和常数表示)。(a)全反镜(b)1/4波片(快轴)(c)线偏振片(3)图3c(a)为全反镜示意图,试写出图3c它的反射矩阵푀 . (4)对于1/4波片,偏振沿其快轴的光经过波片后会比偏振沿其慢轴的光的相位领先。图3c(b)为快轴沿 第2页共5页 45方向的1/4波片的示意图,풌垂直于此波片。写出该波片的矩阵푄 ,并将其表示成标准形式푄 =푎 1푏′ 。푐̃′푑 ′(5)线偏振片的透光方向沿水平(H)、垂直(V)和45方向的示意图如图3c(c)所示,分别写出它们的矩阵퐿 、퐿 、퐿 °.第二部分:四象限干涉。干涉仪是通过光强的变化测量相位变化的一种仪器。一般的干涉仪(如迈克尔逊干涉仪)仅测量光强并可据其定出相位∆휙的大小,但无法确定其正负,还需要通过观察条纹的吞吐变化才能判断∆휙的正负。这在某些应用中并不方便。图3d给出了四象限干涉仪的示意图,它可以通过仅测量A、B处探测器的干涉光强,便可得到∆휙的确定值(−휋<∆휙≤휋)。激光经过一个垂直透光方向(垂直于纸面)的线偏振片(V)被全反镜1反射后射入半透半反分束器1,分成光路1和光路2。光路1的光被全反镜5图3d:四象限干涉仪示意图反射,再经过快轴沿45的1/4波片进入半透半反分束器2,再次被分成两路后分别通过线偏振片(V)到达探测器A和线偏振片(H)到达探测器B。光路2的光被全反镜2、3和4反射后,通过一个透光方向沿45的线偏振片,再由分束器2分成两路,分别射向探测器A、B。(6)已知激光器发出的激光到达分束器1前的振幅为퐸 ,푙 、푙 、푘分别表示光从分束器1沿光路1、2到达分束器2的光程和激光的真空波矢的大小,分别写出探测器A的光强和探测器B的光强中的干涉项干涉、干涉(干涉项是指光强中因干涉所引起的贡献,即两路光同时存在的光强减去两路光单独存在时的光퐼 퐼 强)。进而将干涉的计算结果中的总相位记为,再将干涉、干涉用表示出来。퐼 ∆휙퐼 퐼 ∆휙()简述如何通过干涉、干涉的数值求得的方法。7퐼 퐼 ∆휙不计光在传播过程中的所有损耗。四、(70分)考虑在刚性、粗糙的水平地面上的一个载人的两轮平衡车简化模型,如图4a所示。该模型包含两个相同的刚性圆形车轮(厚度忽略不计),每个车轮的半径为r,质量为m且均匀分布在车轮边缘;两车轮的圆心用长度为d、质量可忽略的细直刚性轮轴相连,两车轮各自所在平面始终与轮轴垂直。将平衡车除两轮、轮轴以外的其它车体部分和车上站立的人简化为质量为M、长度为L的匀质刚性细杆,细杆底端和轮轴中心位置C相连,细杆可绕C做无摩擦转动;此外,细杆与轮轴之间可以有沿轮轴方向的力偶矩(即扭矩,由杆上的发动机提供)。假设车轮在地面上始终做纯滚动。忽略平衡车系统内部所有摩擦阻力、空气阻力和形变导致的能图4a量损失。取z轴正向为竖直向上,x轴与轮轴平行,y轴与车行进的方向平行。已知重力加速度大小为g。(1)本问中发动机不输出扭矩,细杆与轮轴之间的接触可视为点接触;设两个车轮与轮轴不是刚性连接(可以各自独立转动),且车轮质量可以忽略。考虑平衡车的转弯过程,C点在水平面上做角速度为的匀速圆周运动。细杆始终保持在轮轴所在的竖直平面内,且向内侧的倾角휙保持不变,其后视图如图4b所示。求(1.1)C点运动轨迹的半径푅(휙);(1.2)地面对左、右两个车轮的正压力的大小푁、푁(最后表达式中不得含푅)。左右图4b第3页共5页在下面第(2)(3)问中,细杆在垂直于轮轴的平面内运动;两个车轮与轮轴刚性连接,车轮质量不可忽略。(2)考虑平衡车沿直线向前加速的过程,平衡车的侧视图如图4c所示。设细杆处在向前倾角为的位置,为使保持不变,发动机需要对轮轴施加合适的扭矩()。求()和平衡车质心的加速度a()。设y轴正向指向平衡车前进的方向,扭矩的正向为图4c中的逆时针方向。(3)考虑平衡车的小振动。假设发动机输出的扭矩()满足第(2)问求出的函数关系式,关系式中的各参量仍为第(2)问中的值。但是,本问中细杆的质量变为M。对于合适的M值,细杆倾角(在0附近)和C可以做频率相同的小振动。求M需满足的条件,以及此小振动的角频率。图4c五、(50分)考虑一个球对称的恒星,其物质分布在半径为푅的球体中,总质量为M,球心为O.假设恒星物质只含有两种成分:一是中性或电离的原子,称为原子物质;二是辐射,称为光子气体。已知万有引力常量为퐺.假设恒星的总能量主要来自原子物质,在以下第(1)(2)(3)(4)问中可忽略辐射。(1)首先研究恒星的静力平衡,此时可将恒星物质视为流体。设r为恒星内的任一点到其中心O的距离,该点处流体的压强为푝(푟),质量密度为휌(푟),半径为푟的球体内的总质量为푚(푟)。试写出平衡状态下푚(푟)与푝(푟)满足的微分方程。(2)利用第(1)问的结果,证明푚(푟)与푝(푟)满足不等式dGm2(r)pr()40dr8πr并据此估算恒星中心O处压强的下界,结果用푀、푅、G表示。(3)试计算恒星自身的引力势能,用푝(푟)的积分式表示。设所有恒星物质被球对称地拉到无穷远处为势能的零点。(4)考虑恒星物质的热力学。假设恒星物质的内能密度u(r)与压强p(r)满足关系(훾−1)푢(푟)=푝(푟)其中훾为绝热指数。只考虑훾>1且훾不依赖于푟的情形。如果恒星不会解体,훾应满足什么条件?以下各问考虑辐射的效应。假设恒星内部的光子仍然以真空中的光速푐传播。(5)假设恒星内光子气体处处达到局域热平衡,光子气体的内能来自光子的能量,压强来自光子的光压。试计算这种光子气体的绝热指数훾.(6)原子物质能吸收光子。当辐射通过厚度为d푟、密度为휌的物质薄层时,有部分光子被吸收。被吸收的光子所占的比例为휅(푟)휌(푟)d푟,其余光子穿过该物质薄层,其中휅(푟)称为不
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2024-10-30
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