江西省宜春市上高二中2025届高三上学期10月月考试题 数学试卷

2025届高三年级第三次月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数据的分位数为（）A.9 B.8.5 C.8 D.7.52.设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（）A.420 B.460 C.480 D.5204.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（）A.B.C.D.6.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.7.已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线L的斜率为，且过C的焦点F，直线L把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（）A. B.C. D.8.已知，且，函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）AB.C.D.选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数的图像恒过定点B.“”的必要不充分条件是“”C.函数的最小正周期为2D.函数的最小值为210.函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（）A.B.在区间上单调递增C.的图象关于点对称D.区间上有个极值点11.已知函数图象上的点均满足对有成立，则（）A.B.的极值点为C.D.三、填空题12.的展开式中的系数为__________.13.若直线与曲线相切，则的最小值为__________.14.已知圆，抛物线.若对于上任意一点，使得对圆上的任意两点A，B，总有，则的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，，记，（1）对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．（2）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．16.已知函数，为自然对数的底数.（1）若，求实数的值；（2）当时，试求单调区间；（3）若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围.17.如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.（1）证明：直线平面；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.18.某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从该款汽车的生产线任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．（3）某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格（幸运之神）或第5格（赠送车模）时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，19.数列满足：是等比数列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．2025届高三年级第三次月考数学试卷参考答案1.D2.C3.C4.D5.A6.B7.D8.B9.AB10.AC11.AD12.-2513.##14.15.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简得到，确定得到，，得到最值.（2）计算得到，确定，化简得到，根据正弦定理结合等比数列性质得到答案.【小问1详解】，，则，故，，恒成立，故，，当，时，有最大值为.【小问2详解】，即，，，故，，，，成等比数列，则，.16.（1）（2）的单调增区间为，单调减区间为（3）【解析】【分析】（1）求导，根据题意运算求解；（2）注意到当时，对于，恒成立，利用导数求原函数的单调区间；（3）根据题意分析可得在上有两个不同的根，且，构建新函数，结合导数解决方程根的问题.【小问1详解】.由，得.【小问2详解】∵函数的定义域为，当时，对于，恒成立，∴当，，当，，故的单调增区间为，单调减区间为.【小问3详解】由条件可知，在上有三个不同的根，∵是的根，∴，即在上有两个不同的根，且，令，则，∵当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，∴的最大值为，且，，又∵，即，∴，故.17.（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以为原点，分别以方向为轴建立如图所示空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可证；（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论．【小问1详解】如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系...设平面的法向量为，则由，取得.因为，所以解得.所以，且平面，所以平面小问2详解】设平面的法向量为则由，解得.所以，解得.18.（1）300千米（2）08186（3）33万元【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出．（2）由，．利用正态分布的对称性可得．（3）计算车模移到第4格或第5格时的概率，计算一次游戏优惠券金额的期望值，再求6人获得优惠券总金额的期望值．【小问1详解】估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：千米【小问2详解】由，它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为：．【小问3详解】硬币出现正、反面的概率都是，第一次掷出正面，车模移动到第1格，其概率为，移动到第2格有两类情况：掷出2次正面或掷出1次反面，，同理，，，，设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X万元，或0，∴X的期望万元设这6人获得优惠券总金额为Y万元，优惠券总金额的期望值万元.19.(1)，(2)(3)数列是“和稳定数列”，，数列不是“和稳定数列”，理由见解析【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式，（2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果（3）根据“和稳定数列”的定义可判定.【详解】（1），又，，解得：因为是等比数列，所以的公比，又当时，，作差得：将代入，化简：，得：是公差的等差数列，（2）记集合的全体元素的和为，集合的所有元素的和为，集合的所有元素的和为，集合的所有元素的和为，则有对于数列：当时，是数列中的项当时，不是数列中的项，其中即（其中表示不超过实数的最大整数）（3）①解：当时，是的正整数倍，故一定不是数列中的项；当时，，不是数列中的项；当时，，是数列中的项；综上，数列是“和稳定数列”，；②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下：不妨设：，则，且故不是数列中的项.数列不是“和稳定数列”.