四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题参考答案

绵阳南山中学高2024级高一12月月考数学试题参考答案一、选择题：题号1234567891011答案CBCDADBCBCDABABC二、填空题：12．13.14.10解答题：15．解：（1）由题意得，而，故，得，；（2）由，得，即，即，而，由得，即，而，故，且，得，即a的取值范围为．16．解：（1），即，则，由题意得，∴，的定义域为：0,4.（2），令，则，，的对称轴：，∴在上单调递增，在上单调递减；∵，∴在0,+∞单调递减，由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，∴.17．解：（1）由函数为奇函数，其定义域为R，所以，即，解得，此时，满足，即为奇函数，故的值为.（2）在R上单调递减，证明如下：由（1）知，，且，则，因为，所以，，，所以，即函数在R上单调递减.（3）由题知：当恒成立；则；令，所以；又，当且仅当时等号成立，而，所以，则.18．解：（1）模型①，由图象过点，得，解得，    ，在原点附近增长速度先快后慢，不符合；模型②为爆炸增长型函数，不符合，故选模型③.由题知，，解得，所以.（2）由（1）知，，令，得，解得，所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟.19．解：（1）因为函数的图像关于点对称，则，令，可得．（2）（ⅰ）证明：由，得，所以函数的图像关于对称．（ⅱ），则在上单调递增，所以的值域为，设在上的值域为A，对任意，总存在，使得成立，则，当时，，函数图象开口向上，对称轴为，且，当，即，函数在上单调递增，由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以，所以，由，可得，解得．当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，结合对称性可得或，因为，所以，，又，，所以，，所以当时，成立．当，即时，函数在上单调递减，由对称性可知在上单调递减，因为，，所以，所以，由，可得，解得．综上所述，实数a的取值范围为．