四川省九市2024-2025学年高三上学期（12月）第一次诊断性考试数学答案

数学试题参考答案及评分标准一!选择题本题共小题#每小题#分#共$%分&在每小题给出的四个选项中#只有一个选项符合题目要求&!!#命题意图$考查复数的基本运算及复数模长的计算%考查数学运算素养%命题设计体现基础性!#思路点拨$由条件化简得到的表达式%再代入模长的计算公式求解!#答案$'!)(((#详细过程$因为*%所以*()+%所以*!)+%所以**!,+%所以*()()+!)+槡(%故正确选项为'&(!#命题意图$考查集合的含义与表示以及集合的基本运算%考查绝对值不等式的解法和初等函数的值域%考查表示集合的符号语言与图形语言间的转化%命题设计体现基础性!#思路点拨$由条件求出集合#和集合$%再结合图形%根据集合的交集&并集和补集运算求出答案!#答案$-#详细过程$由%#!得,!#%#!%所以#*',!%!(%函数&*槡%,!的值域为'%%).%所以$*'%%).!图中阴影部分表示的集合为$!!#%$%因为#%$*',!%).%所以$!!#%$*!,.%,!%故正确选项为-&/!#命题意图$考查根据椭圆的标准方程判断焦点的位置以及椭圆离心率的求解%考查分类讨论思想的应用%命题设计体现基础性和创新性!#思路点拨$根据椭圆的方程分类讨论建立'与(的关系式%进而求得答案!#答案$-#详细过程$由题意'&%%(&%且''(!设椭圆的长半轴长为)%短半轴长为*%半焦距为+%离/',((!心率为,!当'&(时%)(*'%*(*(%+(*',(%则,(**%解得*)当'((时%$''$/(,'((!()(*(%*(*'%+(*(,'%则,(**%解得*$!所以*或*$!故正确选项为-&$(''$'$!#命题意图$考查条件概率和独立事件的概率乘法公式%考查数学运算和数据分析素养%命题设计体现基础性和应用性!#思路点拨$根据条件概率的定义%可知小明只需答对$%-%.%/四道试题中至少三道试题即可通过测试%因此利用相互独立事件的概率乘法公式即可解答!#答案$0#详细过程$因为小明已经答错了试题#%要通过测试只需要答对$%-%.%/四道试题中至少数学答案第!!页!共!!页{#{QQABRQSAggAAAhAAARhCEwEiCgMQkhCACagOQBAIIAABSBNABAA=}#}书((!!!(!!$三道试题!所以小明通过测试的概率0*/1111)(1111*%故正//((//((2确选项为0&#!#命题意图$考查函数极值点的概念%考查函数的奇偶性和单调性的综合%考查复合函数的求导法则%考查直观想象和逻辑推理素养%命题体现基础性和创新性!#思路点拨$根据极小值点的概念%可知在%%左右两侧附近导数先负后正%再结合函数的奇偶性可对选项逐一判断!#答案$0#详细过程$由题知%存在!&%使得当%)!%%,!%%%时%12!%(%%当%)!%%%%%)!时%12!%&%!对于3选项%因为1!%为奇函数%则12!%为偶函数!则当%)!,%%%,%%)!时%12!%(%%当%)!,%%,!%,%%时%12!%&%%所以,%%是1!%的极大值点%选项3正确)对1!%1!%于'选项%因为&2*12!%4%显然%%是函数&*4的极小值点%选项'正确)对于-选项%1!,%1!,%1!,%因为&2*,12!,%4*,12!%4%由选项3知%,%%是函数&*4的极小值点%-选项正确)对于0选项%因为&2*,12!,%*,12!%%显然%%是函数&*1!,%的极大值点%0选项错误%故正确选项为0&5!#命题意图$考查三角函数的图象与性质%考查三角函数图象的变换!考查转化与化归思想和数形结合思想的应用%考查直观想象&逻辑推理和数学运算素养%命题设计体现基础性和创新性!!!#思路点拨$思路!*整体思想%令%%)*)(3!%3)%可求得%%%进而可求得结果)(/!!思路(*将函数1!%*6+7%的图象经过平移和伸缩变换得到4!%*6+7%)(!(!(的图象%从而点#逐步变换到#2!%%%&%%从中建立关系求解!#答案$3!!(!#详细过程$解法!*令%%)*)(3!%3)%所以%%*,()$3!!因为6+7%%*(//(!(!!!!!(!#!6+7,()$3!*6+7,(*!因为,((%所以,(,((%所以!/!/(((///(!!(!#!!!!,(*或,(*%解得*或*,%所以的所有可能值之和为%故正确选/5/5$!(5项为3&解法(*将1!%*6+7%的图象平移个单位得到函数&*6+7!%)的图象%则点#的横坐!标变为,%再将函数&*6+7!%)的图象保持纵坐标不变%横坐标伸长为原来的两倍得到/!!(!(!4!%*6+7%)(的图象%则点#的横坐标变为,(%所以%%*,(%所以!(!(//(!!!!!(!#!(!!6+7%%*6+7,(*%因为,((%所以,(,((%所以,(*或!/(((////5(!#!!!!,(*%解得*或*,%所以的所有可能值之和为%故正确选项为3&/5$!(5数学答案第!(页!共!!页{#{QQABRQSAggAAAhAAARhCEwEiCgMQkhCACagOQBAIIAABSBNABAA=}#}8!#命题意图$考查分段函数最值的理解和求解%结合充分必要条件进行考查%考查直观想象和数学运算素养%命题体现综合性和创新性!#思路点拨$对参数)分类讨论%根据)的不同范围判断1!%的最小值是否存在%再根据充分必要条件的判断求解!#答案$-#详细过程$若)(%%当%&!时%1!%单调递减%%*).时%1!%*,.%所以1!%无最小值!若)*%%则1!%在!,.%%上单调递减%在!%%!上单调递增%此时1!%+1!%*,(%又!%&!时%1!%*)(&(%所以1!%存在最小值!若%()(!%1!%在!,.%)上单调递减%%!!!)%!上单调递增%在!%上单调递减%在%).上单调递增%所以1!%在%*)!槡)!槡)!处%或%*处取得最小值%即1!%存在最小值!若)+!%则1!%在!,.%!上单调递减%槡)在!!%).上单调递增%要使1!%存在最小值%需!!,)(,(#))/%解得,!#)#$%所以!#)#$!综上所述%+%#)#$,是+1!%存在最小值,的充要条件!故正确选项为-&!#命题意图$考查三角恒等变换%考查逻辑推理和数学运算素养%命题设计体现综合性和应用性!!#思路点拨$首先令*$)%代入后化简得到的三角函数值%进而求得结果!当然也可以从#5#条件出发将条件逐项展开再逐步变换求解!#答案$-!!!!!#详细过程$令*$)%即$*,%则(9:7($,)9:7$)*(9:7(,)9:7#5#5!5!5!#(#((,(;<6(#6+7#,(;<6(#)(6+7#(!/6+7#,!(!!*)***%%所以6+7#*%因为%($(%所6+7(#;<6#6+7(#6+7(#/(!(!槡/槡/!!槡5!以((%所以6+7*(%所以((%所以;<6*%所以6+7$,*,;<65#/#/(5#/#/!/#5*,槡!故正确选项为-&/二!选择题本题共/小题#每小题5分#共!分!在每小题给出的四个选项中#有多项符合题目要求!全部选对的得5分#部分选对的得部分分#有选错的得%分!2!#命题意图$考查成对数据的分析%考查利用最小二乘法求解经验回归直线方程%考查数据分析素养%命题设计体现基础性!#思路点拨$首先根据经验回归直线经过样本的中心%求得5*%再根据5*的正负判断&与%成正相关%再运用经验回归直线方程作预测%最后判断样本相关系数和决定系数间的关系!#答案$3'0!)()/)$)##详细过程$对于3选项%由表格中的数据得%,**/%&-*#数学答案第!/页!共!!页{#{QQABRQSAggAAAhAAARhCEwEiCgMQkhCACagOQBAIIAABSBNABAA=}#}(=$)/=!)$)#)#=#*$%因为经验回归直线过样本的中心%所以$*/5*)!=#8%解得5**#%=!%所以3选项正确)对于'选项%由选项3知%&与%成正相关关系%所以6&%%所以'选项正确)对于-选项%由经验回归直线的含义%当%增加!时%&不一定增加%=!%所以-选项#,-错误&对于0选项%因为!%79%!&79&89(:!9!=5;!9!:!9%=2;!;(:!=#.78!##,(-((((8=!%!%79%8$;!;!;$8!%%!&79&8!!=5;!%=2;!;!!=#8.78!.78!(!,!-.%79%&79N!=!(5#5!5((5=5(%所以688%68%!&79&78!%=%(;((.槡55=(55(%78!!,(!-(.%79%.&79&槡78!78!((((%=%#25#5!((!%=%2;!%=!2;!%=!(8%=%#2%则<8!98%所以6*%进而得到#-*$-*槡(%再根据-!.0平面/=-%利用平面几何知识求得--!*槡(!由选项3知-!到平面/=-的距离即为-!>%容易求得(槡/-!>*%选项'错误!运用割补法容易判断选项-正确与否%根据球的几何性质可判断选/项0是否正确!#答案$3-0#详细过程$如图%在直三棱柱#!$!-!,#$-中%直线#$与平面$!$--!所成角为$#>%且#-*$-%所以/#$-*/$#-*$#>%又#$*(%所以#-*$-*槡(!取/=的中点?%连接?-%?.%-.%因为-!.0平面/=-%所以-!.0?-%易知?%.%-%-!四点共面%则由平面?..-几何知识知%1?.-1.--!%所以*%所以--!*槡(%故3选.---!项正确%设-!.2?-*>%由题意%点-!到平面/=-的距离为-!>%易(槡/(槡/求得-!>*%即点-!到平面/=-的距离为%所以'选项错误%三棱柱#!$!-!,//!!#$-的体积@!*#--$----!*(%四棱锥-,#$=/的体积@(*#$-$=--.*(槡/槡((槡(%所以五面体#!/=$!-!-的体积为@!,@(*%故-选项正确%易知?#!*?#*?$*//数学答案第!$页!共!!页{#{QQABRQSAggAAAhAAARhCEwEiCgMQkhCACagOQBAIIAABSBNABAA=}#}槡5槡5?$!*?-*?-!*%所以三棱柱#!$!-!,#$-的外接球的球心为?%半径为%故其表面((积为5!%所以0选项正确%综上所述%正确选项为3-0&!!!#命题意图$考查运用导数研究函数的单调性%考查导数的几何意义和运用数形结合思想解决问题%考查直观想象素养和逻辑推理素养%命题设计体现综合性和创新性!#思路点拨$将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题%进一步采用数形结合思想解*决问题!当,(%时%可由直线与曲线相切求得临界值%然后结合图形获得准确范围!)#答案$30#详细过程$由题意%函数4!%*,%/的图象与函数A!%*)%)*的图象有三个不同交点%所以)'%%在同一平面直角坐标系中作出它们的图象如图所示%*由图象可知%当,&%%即)*(%时%4!%的图象与A!%的图象只有一个交点%不符合题意))**当,*%时%4!%的图象与A!%的图象只有两个交点%不符合题意)当,(%%即)*&%))*时%4!%的图象与A!%的图象在,%).上有一个交点%所以4!%的图象与A!%的图!)**/象在,.%,上有两个交点%现过点,%%作4!%的切线%设切点为!%%%,%%%则切!)!)/((//*(//*线方程为*&)%%*,/%%!%,%%%即&*,/%%%)(%%%所以%*%%)(%%%解得%%*,%)()(8*((8*((8*((8*(此时切线斜率为,%所以,&,)%即()/%所以)/,/*&,/*+$)($)($$!,%所以)/,/*不可以等于,!%可以等于!!故正确选