福建省厦门第一中学海沧校区2024—2025学年度第一学期12月月考高三年数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知M=x∈Z0＜x＜2，N=xx2−x≤0，则M∩N= A．{0,1} B．{1} C．{-1,1} D．∅【答案】B【详解】由x∈Z，0＜x＜2的解集为{−1,1}，即M=−1,1，不等式x（x−1）≤0，解得0≤x≤1，即N={0≤x≤1}，故M∩N={1}，故选：B2． 已知（2-2i）z=i，则z= A．14+14i B．−14−14iC．14−14i D．−14+14i【答案】B【详解】由（2-2i）z=i，可得z=i2−2i=i（2+2i）（2−2i）（2+2i）=−14+14i，所以z=−14−14i故选：B3．已知数列{1an}是首项为5，公差为2的等差数列，则a11= A．125 B．122 C．117 D．119【答案】A【解析】由题得1an=5+（n-1）2=2n+3，即an=12n+3，则a11=125，故选A.4． a=π0.2,b=0.2π,c=logπ0.2,则A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【详解】由π0.2>π0=1,0<0.2π<1,logπ0.2b>c.故选D. 5． 将5名大学生分配到3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（）种 A．240 B．60 C．150 D．180【答案】C.由2:2:1分配有C52C32C11A22A33=90;由3:1:1分配有C53C21C11A22A33=60,共150种,故C正确.6． 已知点P是焦点为F的抛物线C:4x2=y上的一个点，过点P作直线l:的垂线，垂足为点A，直线l与y轴的交点为B，若PB是∠FPA的平分线，则△BFP的面积为().A．164 B．264 C．1128 D．2128【答案】C【详解】因为4x2=y,即x=14y2,因此F(0,),|易知直线l是C的准线，则PF=AP，如图，又PB=PB，∠FPB=∠APB，所以△FPB≌△APB，得∠PFB=∠PAB=90，四边形ABFP为正方形，故△BFP的面积为=.7． 已知a，b为单位向量，且a−2b=7，向量c满足c2-4a.c+3=0，则c−（b−a）的最小值为().A.13-1B.3-1C.14-213D.4-23【答案】A【详解】设=θ,由a−2b=7,平方可得a2-4a∙b+4b2=7,cosθ=−12,θ为2π3由c²-4a·c+3=0得(c-a)·(c-3a)=0,以a的起点为原点，a方向为x正方向建立平面直角坐标系，则a=(1,0),b=（−12，32）,设c=OC=(x,y),由(c-a)·(c-3a)=0可得(x-2)²+y²=1,即点C在以M(2,0)为圆心，1为半径的圆上，记OD=b-a=（−32，32）,c−（b−a）=DC,则DC≥DM-r=13-1，故选A.8．端午是一大中华传统节日.小玮同学包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）.如图：已知粽子三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC，H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE或平面HIJ切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A．23π9B．3π18C．23π27 D．3π54【答案】B【详解】如图所示，取AB中点为F，PF∩DE=G，为方便计算，不妨设PF=CF=1，由PA=PB=AB=AC=BC，可知PA=PB=AB=AC=BC=233，又D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，则FG=PF=，且AB丄PF，AB丄CF，PF∩CF=F，PF，CFC平面PCF，即AB丄平面PCF，又ABC平面ABC，则平面PCF丄平面ABC，设肉馅球半径为r，CG=x由于H、I、J分别为所在棱中点，且沿平面HIJ切开后截面中均恰好不见肉馅，则P到CF的距离d=4rsin∠PFC==4r，S△GFC=.1..4r=，又S△GFC=（1++x）.，解得x=1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的是 A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60B．若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为16C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【详解】解：对于，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，正确；对于，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故正确；对于，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是23.5，故错误；对于，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故正确．故选：．10．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过点A作C的切线，交准线于点P，交x轴于点Q，下列说法正确的有（）.A.QF=AFB.直线QB与C也相切C.PA丄PBD.若∠PAF=π6则AF=4【答案】ACD【详解】依题意，抛物线C:y²=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,不妨设点A在第一象限，且A(x,y),B(x₂,y2)则有点A处的切线方程为：y1y=2(x+x1),于是Q(-x,0),于是|QF|=x+1=|AF|,选项A正确；同理有点B处的切线方程为：y2y=2(x+x2),交x轴于(-x2,0),显然直线QB不是抛物线C的切线，可以证明，直线PB才是抛物线C的切线，选项B错误；设直线AB的方程为：x=ty+1(t≠0),由y²-4ty-4=0,所以，PA⊥PB,选项C正确；由A可知，△FAQ为等腰三角形，且于是AQ=3AF,4x12+y12=3(1+x1)，又y²=4x,解得x=3,此时AF=4,选项D正确，故选ACD.11.(多选)已知是偶函数，是奇函数，且，则( ) A．是周期函数B．的图象关于点中心对称C．D．是偶函数【答案】AD【详解】选项A：在中取为，得，所以，取为，得，因为函数是偶函数，所以，取为，得，所以，所以函数是周期为2的周期函数，所以也是周期函数，所以A正确；选项B：由得的图象关于点中心对称，所以B错误；选项C：设，则，两式相加，得2022，所以，即，所以C错误；选项D：对于，两边同时对求导得，所以是偶函数，所以D正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知一组数据，，2，3，，大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为=▲．【答案】【解析】，，又回归直线经过，，当时，的最小值为．13．已知函数的最大值是3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则【答案】4048【详解】函数的最大值是3，故，得，则，由于函数的图象与轴的交点坐标为，故，，，即，函数图象其相邻两个对称中心的距离为2，故，所以；当，2，3，时，的值依次为1，0，，0，成周期变化；且周期为4，相邻4个之和为0，由于，所以（1）（2）．．故答案为：4048．14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列{an}:1，1，2，3，5，8，……,从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即a1=a2=1，an+2=an+1+an，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”.若am=2(a3+a6+a9+…+a2022)+1，则m=▲．【答案】2024【解析】.由从第三项起，每个数字等于它前面两个数的和，a1=a2=1,因为an+2=an+1+an(n∈N*),所以2(a3+a6+a9+…+a2022)+1=(a3+a3+a6+a6+a9+a9+…+a2022+a2022)+1=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+…+a2020+a2021+a2022+1=S2022+1,由an+2=an+1+an(n∈N*)得an=an+2-an+1,所以a1=a3-a2,a2=a4-a3,a3=a5-a4,…,an=an+2-an+1，将这n个式子左右两边分别相加可得：Sn=a1+a2+…+an=an+2-an+1-a2=an+2-1,即Sn+1=an+2,所以S2022+1=a2024,故m=2024.四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在△中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，如图，，是上的动点，且始终等于，记．当为何值时，△的面积取到最小值，并求出最小值．解：（1）在△中，因为，由正弦定理可得：， 1分所以，即，所以，即， 3分因为，所以，所以， 4分因为，所以； 5分（2）因为，由（1）知，所以， 6分在△中，由正弦定理可得，所以， 7分在△中，由正弦定理可得，所以， 8分所以， 10分因为，所以，当时，取得最小值，此时，即，所以当时，△的面积取到最小值，最小值为． 13分16.（15分）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且．（1）若数列为等差数列，求；（2）若，求数列的通项公式及．解：（1）当时，，即，解得， 1分当时，，即，解得， 2分因为数列为等差数列，所以，即，解得， 4分所以，，公差为2，所以数列的通项公式为； 5分（2）当时，，①所以，② 6分所以②①得，，因为，所以， 7分当时，，即，解得， 8分∴数列的奇数项成等差数列，首项为，公差为3；即 9分偶数项成等差数列，首项为，公差为3，即 10分∴数列通项公式为 12分当为偶数时，． 13分当为奇数时，． 14分则 15分注：或结合求解17.（15分）如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，将△沿对折至△，使得，点是的中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．解：（1）证明：因为，，所以， 1分翻折后,,,又,,平面,所以平面， 2分又平面，所以， 3分因为是的中点，，所以，又，，平面，所以平面， 5分因为平面，所以． 6分（2）解：由（1）知，平面，因为平面，所以，因为，，所以，在△中，，由余弦定理得，，因为，所以，所以， 8分以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，作平面为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，,，0，,，2，,，2，,， 9分因为是的中点，所以，所以，，，由（1）知，，因为，，面，所以平面，即平面的一个法向量为， 11分设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以， 13分所以， 14分设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为． 15分18.（17分）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离．（1）求椭圆的面积；（2）若直线交椭圆于，两点，求△的面积的最大值为坐标原点）；若以，为直径的圆过点，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．解:(1)∵椭圆离心率为,且右顶点与上顶点距离,所以， 1分解得，，， 2分所以椭圆的方程为，则椭圆的面积为． 3分（2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，联立，得，则，， 5分则， 6分又点到直线的距离为， 7分所以， 8分当且仅当,即时等号成立,此时△的面积的最