（西北卷）名校教研联盟2025届高三12月联考 数学参考答案.pdf

绝密★启用前数学参考答案1.【答案】B2【解析】z1i，z1i，故|zz||2i|2.1i2.【答案】C【解析】因为A{2,1,0,1}，且Bxx2k,kZ，故AB{2,0}.3．【答案】D【解析】根据题意有F(1,0)，且C的准线方程为x1，故F到准线的距离d2.因为准l线被圆截得的弦长l2，设圆的半径为R，则由几何关系可知R2d2()25，故圆的2方程为(x1)2y25.4.【答案】A【解析】角的终边在射线y2x(x≤0)上，所以角为第二象限角，且tan2，255π故sin，cos.又因为sin(2)sin2coscos2sin，55444432且sin22sincos，cos22cos21，所以sin(2).554105.【答案】CC23【解析】该同学抽取到两道历史题的概率为10，抽取到一道历史题和一道地理题P12C168C1C11C21的概率为106，抽取到两道地理题的概率为6，故至少答对一道题的P22P32C162C16822211127概率为PP[1(1)(1)]P[1(1)(1)]P[1(1)(1)].133232322326.【答案】A4【解析】根据题意有lg(x2ax5)0，即x2ax51，当x(1,4)时，有ax，x444又因为此时x≥2x4，当且仅当x2时等号成立，故若满足ax，则a4.xxx又因为f(x)在区间(1,4)单调递减，即g(x)x2ax5在区间(1,4)单调递增，又g(x)图aa像的对称轴为x，故还要满足≤1，即a≤2，综上，a的取值范围是(,2].22数学参考答案第1页（共8页）7.【答案】B【解析】如图，设O为球心，且O在平面ABD和平面BCD上的射影分别为，，点为的中点.因为平面平面O1O2EBDABD，且和均为等边三角形，故，均为BCD△ABD△BCDO1O2等边三角形的中心，四边形OO1EO2为正方形，且BEOE.所以BE3，O1E1，OE2，球半径ROBBE2OE25，故球的表面积S4R220.8.【答案】D【解析】当xyz0时，|xy||xy||xz|0，故A错误；令y0，2xz，则|xy||xy||xz||x|，|yz3||2x3|，若x2x3，即x3，则四个数相等，故B错误；不妨取x6，y2，z1，则|xy|4，|xy|8，|xz|5，|yz3|4，故C错误；记M为四个数中最大的数，当xy≥0时，则|xy||x||y|≥|xy|，1故Mmax|xy|,|xz|,|yz3|≥(|xy||xz||yz3|)≥3|xyxz3yz|131，当xy，且z时，M1（M的值为1的条件不唯322一）；当xy0时，|xy||xy|，不妨设x0，y0，则只需考虑0y1且z1的情况，此时yz2，故|yz3|1，故当xy0时，M1.综上有M≥1，故D正确.9.【答案】AC（选对一项给3分）【解析】因为e1，e2是两个相互垂直的单位向量，且向量ae12e2，be12e2，故不22妨设e1(1,0)，e2(0,1)，则a(1,2)，b(1,2)，故|a|1(2)5，|b|12225，|a||b|，故A正确；ab11(2)230，a与b不垂直，故B错误；ab(0,4)，e2(0,1)，010(4)0，所以(ab)∥e2，故C正确；2ab(1,6)，故|2ab|12(6)237，故D错误.10.【答案】BCD（选对一项给2分，选对两项给4分）【解析】过E，F，H三点的截面是顺次连接H，E，F，及DD1中点所构成的矩形；过E，G，H三点的截面是顺次连接H，E，A1，D1所构成的矩形；设直线FG与直线AD，DD1分别交于M，N两点，连接HM，HN，分别交AB，C1D1于P，Q两点，数学参考答案第2页（共8页）则过F，G，H三点的截面是五边形PFGQH；过E，F，G三点的截面是顺次连接AB，，，，，各边中点所构成的正六边形，故，，正确.BCCC1C1D1A1D1AA1BCD11.【答案】ACD（选对一项给2分，选对两项给4分）【解析】当1时，f(x)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x1)2，不等式f(x)≥0的解集为[1,)，故A正确；21f(x)3x22x，当23时，f(x)3x22x(3x)2≥0，f(x)33在(,)单调递增，x不是f(x)的极值点，故B错误；3若曲线yf(x)关于点(a,b)对称，则有f(ax)f(ax)2b，两边同时求导有f(ax)f(ax)0，即曲线yf(x)关于直线xa对称.由上可知x是曲线3yf(x)的对称轴，且当229时，有f(x)f(x)2，故点(,1)是曲333线yf(x)的对称中心，且在直线y1上，故C正确；设是任意一个零点，则32.易知，故当2时，x0f(x)f(x0)x0x0x010x00411222≤，结合，得，故正确.x02()0x00x00Dx0x0x024412.【答案】301523a5a2【解析】因为{an}是等比数列，设公比为q，则q22，q2，a12，a2qa(1q8)S130152.81q13.【答案】351010【解析】因为，，所以，.又ˆ中ˆ，xi500yi200x50y20yˆbxaˆb0.5i1i1回归直线一定过样本点中心(50,20)，所以200.550aˆ，aˆ5，所以yˆ0.5x5.当x80时，yˆ0.580535.14.【答案】42数学参考答案第3页（共8页）【解析】根据题意有F(2,0)，设C的左焦点为F，则F(2,0).C的实轴长为2a22.由双曲线的定义可知|PM||PF||PM||PF|2a，当M，P，F共线时，|PM||PF|的值最小，此时|PM||PF||MF|82，|PM||PF|62，P(3,7).当N，F，P共线，且P在线段NF的延长线上时，|PN||PF|的值最大，此时P点坐标也为(3,7)，且|PN||PF||NF|22，即|PF||PN|的值最小，最小值为22.所以当P的坐标为(3,7)时，|PM||PF|和|PF||PN|同时取得最小值，故|PM||PN|2|PF|的最小值为622242.15.（13分）sinA3cosA【解析】（1）因为sinC0，由正弦定理可得.……3分sinCsin(AB)因为ABC，故sin(AB)sinC，则有sinA3cosA，即tanA3.……5分因为A(0,)，故A．……6分313（2）由（1）知S△bcsinAbc3，故bc4．……8分ABC24由余弦定理可知a2b2c22bccosAb2c2bc≥2bcbcbc4．……11分故a≥2．当且仅当bc2时等号成立．……12分所以a的最小值为2．……13分16.（15分）【解析】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接OE.因为ABCD是平行四边形，故O为AC的中点.……2分又因为E为PC的中点，故OE∥PA.……4分又OE平面BDE，PA平面BDE，所以PA∥平面BDE.……6分（2）方法1：设P为P在底面上的射影，则PP平面ABCD.因为PP平面PBD，故平面PBD平面ABCD.……7分设E为E在底面上的射影，则EE平面ABCD，EE∥PP，且C，E，P共线，又因为E为PC的中点，故E为CP的中点.……8分过E作BD的垂线，垂足为H，连接EH，因为EE平面ABCD，则EEBD，故BD数学参考答案第4页（共8页）平面EEH，BDEH，EHE是二面角EBDC的平面角.……10分因为AB8，AD6，BAD90，四棱锥PABCD的体积为80，故PP5，152412EEPP，易知C到BD的距离为，且E为CP的中点，故EH.…12分2255EE25所以tanEHE.……13分EH24因为平面PBD平面ABCD，故二面角PBDE的平面角与二面角EBDC的平面角24互余，所以二面角PBDE的正切值为.……15分25方法2：如图，以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向建立空间坐标系.设P为P在底面上的射影，因为AB8，AD6，BAD90，四棱锥PABCD的体积为80，故PP5，5则B(6,8,0)，且可设P(6a,8a,5)，又因为E为PC的中点，则E(3a,44a,)，故25DP(6a,8a,5)，DE(3a,44a,)，DB(6,8,0).……9分2设平面的法向量为，平面的法向量为，则PBDm(x1,y1,z1)EBDn(x2,y2,z2)6ax18ay15z10，6x18y1053ax(44a)yz02222.……10分6x28y20不妨取，，则，x14x24m(4,3,0)24n(4,3,).……12分5mn44(3)(3)2524故cosm,n，且sinm,n.……14分|m||n|576120112011691692524易知二面角PBDE为锐角，故其正切值为.……15分2517.（15分）【解析】（1）设C的半焦距为c，因为右焦点为F(2,0)，故c2.……1分c2又C的离心率，故a22.……3分a2由椭圆的几何性质有a2b2c2，故b2a2c24.x2y2所以C:1.……5分84数学参考答案第5页（共8页）（2）显然直线PQ斜率存在，并设其方程为yk(x4)，与C的方程联立有：(12k2)x216k2x32k280，其中0.16k232k28设P(x,y)，Q(x,y)，则xx，xx.……7分11221212k21212k2x2x2故|PF||QF|(x2)2y2(x2)2y2(x2)241(x2)242112212221114(x4)2(x4)2|xx4(xx)16|.……11分21222121212k21故由|PF||QF|3，可得k2，xx2，xx2.……12分61212222所以|PQ|1k|x1x2|1k(x1x2)4x1x2……13分14.……15分18.（17分）1【解析】（1）f(x)的定义域为(1,)，当a1时，f(x)ex.……1分x1当1x0时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0时，f(x)0，f(x)单调递增，故x0是f(x)的极小值点.……4分所以f(x)的最小值为f(0)1.……5分1（2）（i）f(x)aeax，当a≤0时，f(x)单调递减，f(x)没有极值点.……6分x1当时，单调递增，若是的极值点，则是唯一极值点，且为极小值点，a0f(x)x0f(x)x01此时有ax0.……分f(x0)ae07x011a1a1a2因为f(x)单调递增，故x≥等价于f()a(e2)≤f(x)0.……8分02a2aa101x11x设g(x)