河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二上学期12月月考试题 数学 Word版含解析

洛阳强基联盟高二12月联考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列中，，，则（）A.1 B.0 C. D.2.双曲线C：的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）A. B. C. D.4.已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.85.已知数列中，则数列前2024项的和为（）A.0 B.1012 C.2024 D.40486.若椭圆E：的周长为C，则（）A. B. C. D.7.已知直线l：与双曲线C：交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.8.已知抛物线E：的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且则直线l的斜率是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列数列中，为递增数列的是（）A. B. C. D.10.已知点A，B是椭圆C：上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点，，分别是C的左、右焦点，O为原点，则（）A.C的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知P为圆：上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点M，记点M的轨迹为曲线H，设，在曲线H上，且，，，则（）A.曲线H的方程为B.曲线H的离心率为C.经过且与曲线H只有一个公共点的直线恰有两条D.四边形面积的最小值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆的焦距为2，则________.13.若数列满足，且，为其前n项和，则的最小值为________.14.已知抛物线C：，P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D：作切线，切点分别为A，B，则的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）已知是数列的前n项和，若，是等差数列，.（1）求；（2）求数列的通项公式.16.（本小题满分15分）已知两点，，动点P在y轴上的射影是H，.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：与曲线C相交于A，B两点，当m为何值时，以线段AB为直径的圆经过点.17.（本小题满分15分）已知等差数列的前n项和为，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若是递增数列，，，求证：.18.（本小题满分17分）设F为抛物线C：的焦点，，，为C上三个不同的点，且，.（1）求C的方程；（2）设过点F的直线l交C于P，Q两点.①若直线l交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，求的最小值；②过点F作l的垂线m，直线m交C于A，B两点，设线段PQ，AB的中点分别为D，E，求证：直线DE过定点.19.（本小题满分17分）已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，若直线l的斜率等于1，求面积的最大值.洛阳强基联盟高二12月联考·数学参考答案、提示及评分细则1.A由等差数列的性质可知，所以.故选A.2.B由题意知，，双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线的方程为，即.故选B.3.C由题意设抛物线方程为，将代入得，所以所求抛物线方程为.故选C.4.B因为所以，又，当且仅当时取等号，所以的最大值为4.故选B.5.C因为，，所以，，，，，…，所以数列是周期为4的周期数列，且，所以.故选C.6.D把化为标准方程为，以长轴为直径的圆周长为，边平行于E的对称轴的外切矩形的周长为，所以，，所以A，C错误；以短轴为直径的圆周长为，以长轴和短轴为对角线的菱形的周长为，所以，，所以B错误，D正确.故选D.7.D设，，可得，，两式相减可得，点是弦AB的中点，且直线l：，可得，，，即有，即，∴，，故双曲线C的离心率为，经验证此时直线与双曲线有两个交点.故选D.8.B抛物线E：的准线为，所以，因为直线l交E于两点，所以直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，由消去y得，所以，即，，，因为，所以，得，所以或所以，满足.故选B.9.AD对于A.所以，所以为递增数列，故A正确；对于B，，所以为递减数列，故B错误；对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误；对于D，，所以，所以为递增数列，故D正确.故选AD.10.ABD对于A，椭圆C：中，，，，离心率为，A正确；对于B，由对称性可得，所以，B正确；对于C，设，且，则，故所以，，C错误；对于D，不妨设A在第一象限，，则，则，则，则，，故，故D正确.故选ABD.11.AC圆：的圆心为，半径，因为线段的垂直平分线交直线于点M，则，所以，所以点M的轨迹是以，为焦点的双曲线，其中，，所以，所以曲线H的方程为，故A正确；对于B，因为，，所以该双曲线的离心率为2，故B错误；对于C，经过且与曲线H相切的直线恰有一条，满足条件；经过的直线与曲线H的渐近线平行时，也满足条件，所以符合条件的直线恰有两条，故C正确；对于D，因为，，则A，B分别在两支上，且A，B都在x轴上方或x轴下方，不妨设都在x轴上方，又，则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，延长交双曲线于点N，延长交双曲线于点Q，由对称性知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.由题设，直线AN的方程为，直线BQ的方程为，联立消去x并整理得，易得，因为，所以，所以，两条直线AN与BQ间的距离，所以，令，，所以，因为在上单调递减，且，所以在上单调递增，当即时，取得最小值为12，故D错误.故选AC.12.5或7由题意知，所以.当椭圆的焦点在x轴上时，且，解得；当椭圆的焦点在y轴上时，且，解得，故m的值为5或7.13.10由，解得，所以数列中，只有，为负数，所以的最小值为或或，又，，所以的最小值为10.14.圆D：的标准方程是，则圆心为，半径为，设，，所以，所以的最小值为.15.解：（1）设数列的公差为d，则由，得， 1分所以，即， 4分所以，， 5分因为，所以，解得， 7分所以 8分（2）由（1）知，所以时，， 11分上面这个式子对也适合， 12分所以时，. 13分16.解：（1）设动点，则，所以，，， 2分因为，所以.即轨迹C的方程为. 5分（2）联立方程消去y并整理得， 6分所以，且，所以且， 8分设，，则，. 9分若以AB为直径的圆过点，则，所以，即，所以， 12分所以，化简，得，解得，满足，所以. 15分17.证明：（1）设等差数列的公差为d，则， 3分所以， 6分所以数列是公差为的等差数列 8分（2）由（1）知数列是公差为的等差数列，因为， 9分即， 10分因为，所以， 11分所以， 12分所以 15分18.（1）解：由题意得焦点，设，，，因为，所以，即， 2分所以|解得，所以C的方程为. 5分（2）①解：圆化为标准式为，其圆心恰为F，半径为1， 6分当直线l斜率存在时，根据题意可设直线l的方程为，，，由得，， 7分，， 8分因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，当直线l斜率不存在时，，，，所以的最小值为4. 11分②证明：由题知直线l的斜率k存在且不为0，由①得，，则. 12分用替换k得点. 13分当，即时，直线DE的斜率， 14分所以直线DE的方程为，整理得，所以直线DE恒过点； 16分当时，直线DE的方程为，也过点.综上所述，直线DE恒过点. 17分19.解：（1）因为，所以，即， 2分又且以P为圆心的圆与直线相切，所以此圆半径，又圆过点，所以，即，解得， 5分所以，即，故椭圆C的方程为. 7分（2）如图所示，不妨令直线l：，，，联立消去y并整理得， 9分所以，解得，即，又 11分所以 13分又点O到直线l的距离为， 14分所以 15分当且仅当，即时，取到最大值，此时满足，所以面积的最大值为. 17分