江苏省四市十一校联盟2024-2025学年高二上学期12月阶段联测试题 数学（含答案）

2024～2025学年度第一学期阶段联测高二数学试题（考试时间120分钟总分150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线与垂直，则（）A0 B.1 C.2 D.2.双曲线焦点到渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.3.已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（）A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项4.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（）A. B.C. D.5.已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（）A.10 B.8 C.5 D.46.“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（）A.Q B.R C.S D.T7.将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（）A. B. C. D.8.已知是圆一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分.9.已知曲线，下列说法正确的是（）A.若，则曲线C为椭圆B.若，则曲线C为双曲线C.若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2D.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于110.已知数列满足，，则下列说法正确的是（）A. B.中存在连续三项成等差数列C.中存在连续三项成等比数列 D.数列的前项和11.已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（）A. B.的离心率为 C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.下列条件中，哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）.①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为；④焦点到准线的距离为；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为.13.已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______.14.如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知双曲线的离心率，实轴长.（1）求的方程；（2）过右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求；16.在等比数列中，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；17.如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.（1）当时，求的长；（2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.（3）是过点另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值.18.已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.（1）求椭圆的标准方程;（2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.（3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程.19.若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.（1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；（2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列.（3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.2024～2025学年度第一学期阶段联测高二数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分.9.【答案】BCD10.【答案】ABD11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】①③（答案不唯一）13.【答案】14.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】【分析】（1）根据已知得、，即可得双曲线方程；（2）由题设可得，联立双曲线方程，应用韦达定理及弦长公式求.【小问1详解】由题设，又，所以，则.【小问2详解】由右焦点为，则，联立双曲线方程，得，整理得，显然，则，，所以.16.【解析】【分析】（1）根据等比数列的概念，建立方程组，求得公比与首项，可得答案；（2）根据对数的运算律，可得数列的通项公式，结合等差数列的概念，可得答案；【小问1详解】设等比数列的公比为，则，化简可得，整理可得，由，则，由方程解得，由，则.由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.【小问2详解】由，则，，由数列是以为首项，以为公差的等差数列，则.17.【解析】【分析】（1）应用点斜式写出直线方程，再应用点线距离和弦长公式求相交弦长；（2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，根据已知及点斜式写出符合要求的直线方程即可；（3）记点到的距离分别为，有，根据弦长公式有，应用基本不等式求目标式的最大值.【小问1详解】当时，直线为，故，由圆的圆心为原点且半径为，则圆心到距离为，所以.【小问2详解】假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，连接，则，故，又，即，所以直线为，则.【小问3详解】记点到的距离分别为，有，又，，当且仅当时等号成立，综上，的最大值为.18.【解析】【分析】（1）根据题意，易得的值，进而分析可得，由公式求出，代入椭圆方程即得；（2）根据题意，设直线PM方程，将其与椭圆方程联立，由根与系数的关系得的坐标，利用PM与PN的关系，得的坐标，然后利用斜率的计算公式化简计算即得.（3）由原点到直线的距离及弦长公式可求出面积，利用二次函数求出最值即得直线的方程.【小问1详解】由题意可知椭圆的半焦距，由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得，，故椭圆的标准方程为.【小问2详解】由已知得，由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数，可设直线的方程为，代入，消去得.设，所以，可得，因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数，所以在上式中以代替，可得，所以直线的斜率，即直线的斜率为定值.【小问3详解】由（1）已得，,可设直线的方程为：，代入，整理得：，则，即，设，则，于是，，点到直线的距离为，则的面积为：，因，则，故当时，取得最大值，此时直线的方程为,即和.19.【解析】【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；（2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解；（3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解．【小问1详解】因为常数，所以数列为等方差数列，1为公方差；因，所以数列不是等方差数列；【小问2详解】因为是等差数列，设其公差为d，则，又是等方差数列，所以，故，所以，即，所以，故是常数列；【小问3详解】由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，故，而，所以，是首项为1，公比为3的等比数列，而新数列中项含前共有项，令，结合，解得，故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，所以数列中前30项的和.