2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高二12月联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.椭圆x27+y29=1的长轴长为( )A.7 B.3 C.27 D.62.在空间直角坐标系O−xyz中，点(1,−2,3)关于y轴的对称点为( )A.(−1,−2,−3) B.(−1,2,−3) C.(−1,−2,3) D.(1,2,3)3.在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，一定能作为空间向量的一个基底的是( )A.{AB,AD,B1D1} B.{AB,AA1,C1D1} C.{AB,A1A,A1D1} D.{AA1,AC,CC1}4.树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间[65,135]内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则( ) A.X>Y B.X=Y C.X0)的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若FM=3FA，|FB|=5，则|AB|=( )A.253 B.152 C.203 D.3568.点P是正方体ABCD−A1B1C1D1的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若AB⋅AP=2，AP与平面ABCD所成的角为30∘，则点P的轨迹的形状是( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.随机事件A，B满足P(A)=0.4，P(B)=0.6，P(A∪B)=0.8，则有( )A.P(AB)=0.2 B.P(AB)=0.24 C.A，B不是互斥事件 D.A，B相互独立10.平行六面体ABCD−A1B1C1D1所有棱长都等于1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，如图，则有( ) A.|BD1|=2 B.BD1⊥CD C.平面AA1C1C⊥平面BB1D1D D.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为2211.在平面直角坐标系内，动点P到两定点F1(−2,0)，F2(2,0)的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A.曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B.|OA|=6 C.当点P位于B点处时，∠F1PF2最大 D.点P到x轴的最大距离为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线y=kx+1将△AOB分割成面积相等的两部分(O为坐标原点)，则k= .13.在直棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=7，BC=4，BB1=2，D为B1C1中点，则直线BD，A1C所成角的余弦值为 .14.双曲线E:x2a2−y2b2=1的左，右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E的右支上的一点，△PF1F2的内切圆圆心为I(1,2)，记△PF1I，△PF2I的面积分别为S1，S2，则S1−S2= .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分) 已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点P(1,1)，离心率e=3.求双曲线C的方程，及其焦点坐标和渐近线方程.16.(本小题15分)甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为710，答对第2道题的概率为12，乙答对每道题的概率都为35.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响.(1)求甲答对一道题的概率;(2)求甲乙两人答对题目的个数相等的概率.17.(本小题15分) 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD=2，AB=BC=1，经过点C的平面α与侧棱PA、PB、PD分别相交于点Q、E、F，且BD//平面α. (1)求证：PA⊥平面ABCD;(2)若平面α与平面PAC的夹角为θ，且cosθ=36，求线段AQ的长度.18.(本小题17分) 如图，已知圆M:(x−2)2+(y−1)2=25，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦AB，CD. (1)求证：|AB|2+|CD|2为定值;(2)当AC//BD时，求直线AC的方程和直线BD的方程.19.(本小题17分) 已知直线l:y=kx+b与圆O:x2+y2=1相切. (1)求k2−b2的值;(2)已知椭圆E:x24+y23=1在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x4+y0y3=1，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程;(3)是否存在这样的二次曲线F:λx2+μy2=1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有OM⊥ON?若存在，求出λ+μ的值;若不存在，请说明理由. 答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了椭圆的方程以及性质，属于基础题． 根据椭圆的方程即可求解．【解答】 解：由已知可得：a2=9，所以a=3，所以椭圆的长轴长为2a=6， 故选D.2.【答案】A 【解析】【分析】本题考查空间中点的对称，属于基础题． 根据一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，求解即可．【解答】 解：∵一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数， ∴点(1,−2,3)关于y轴对称的点的坐标为(−1,−2,−3)， 故选：A.3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查空间向量的基底，属于基础题. 根据空间向量的基底的定义对选项逐项判断即可.【解答】 解：对于四棱台ABCD−A1B1C1D1， A选项中，AB，AD，B1D1共面，不符合要求； B选项中AB，C1D1可能共线，不符合要求; D选项中，AA1，AC，CC1共面，不符合要求， 故选C.4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，平均数、中位数，属于基础题. 计算出Y的值，估计出X的范围，即可判断.【解答】 解：Y=85+0.0750.25×10=88， X>70×0.2+80×0.225+90×0.25+100×0.125+110×0.1+115×0.1=89.5， ∴X>Y， 故选A.5.【答案】B 【解析】【分析】本题考查求圆的标准方程，属于基础题. 求出动直线l恒过定点(1,1)，即圆的圆心，结合圆半径即可得圆方程.【解答】 解：动直线l:(k+2)x−(k−1)y−3=0，即kx−y+2x+y−3=0， 由x−y=02x+y−3=0⇒x=1y=1，即动直线l恒过定点(1,1)， 因为动直线l:(k+2)x−(k−1)y−3=0被定圆C截得的弦长等于2， 则定点(1,1)为圆的圆心，半径为1， 故圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=1， 故选B.6.【答案】C 【解析】【分析】本题考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题. 根据点到直线的距离公式分情况即可判断.【解答】 解：当直线l的斜率不存在时，设其方程为x=a， 由题意可知|a−(−2)|=1且|a−2|=3，则a=−1使得两个式子同时成立. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，即kx−y+b=0，因为点A(−2,0)到直线l的距离为1， 所以|−2k+b|k2+(−1)2=1 ①. 因为点B(2,0)到直线l的距离为3，所以|2k+b|k2+(−1)2=3 ②. 由①②得|−2k+b||2k+b|=13，则b=4k或b=k. 当b=4k时， 代入①中，得3k2−1=0，该方程有2个不相等的实数根，即k=±33; 当b=k时，代入①中，得k2=k2+1，该方程无解. 所以这样的直线l共有3条， 故选C.7.【答案】A 【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查抛物线中的线段长问题，属于基础题. 根据抛物线的几何性质得出xAxB=p24，根据已知条件得出xA=p3，利用抛物线的定义得出p，再利用抛物线的定义即可得出结论.【解答】 解：设A(xA,yA)，B(xB,yB)， 抛物线的焦点Fp2,0，直线AB的方程为x=my+p2， 由x=my+p2y2=2px，消去x得，y2−2pmy−p2=0， 则yAyB=−p2， 则有xAxB=yAyB24p2=p24， 由于FM=3FA，FA=xA−p2,yA,FM=−p2,yM−yA， 所以xA=p3，则xB=3p4， 所以|FB|=xB+p2=3p4+p2=54p=5，所以p=4， 故|AB|=|BF|+|AF|=xA+xB+p=253， 故选A.8.【答案】C 【解析】【分析】本题考查数量积的坐标运算，直线与平面所成角的向量求法，轨迹方程的求法，属于中档题. 由AB⋅AP=2可得，x=1，由cos⟨AP，AA1⟩=12，可得3z2−y2=1，故可判断点P的轨迹的形状.【解答】 解：分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设P(x,y,z)，由AB⋅AP=2，可得x=1，① 又cos⟨AP，AA1⟩=|2z|21+y2+z2=12， 可得3z2−y2=1，② 由①②可知，P点轨迹为双曲线， 故选C.9.【答案】AC 【解析】【分析】本题考查概率的性质、互斥事件、相互独立事件，属于中档题. 利用P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AB)，求出P(AB)，再对各选项逐项判定，即可求出结果.【解答】 解：由P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.4+0.6−P(AB)=0.8， 得P(AB)=0.2，故A正确，B错误; 因为P(AB)=0.2≠0，所以A，B不是互斥事件，故C正确; 因为P(AB)=0.2≠P(A)P(B)=0.4×0.6=0.24，所以A，B不是相互独立事件，故D错误. 故选AC.10.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查利用向量求线段的长，利用向量判断线线，面面垂直，柱体的体积，属于中档题. 利用向量对选项逐个计算即可判断.【解答】 解：对于选项A，由|BD1|=|BA+AD+DD1|=(BA+AD+DD1)2=1+1+1−1−1+1=2，所以A错误; 对于选项B，BD1⋅CD=(BA+AD+DD1)⋅CD=1−12−12=0，所以B正确; 对于选项C，BD⋅AA1=(AD−AB)⋅AA1=0，∴BD⊥AA1，又BD⊥AC，AA1∩AC=A，AA1,AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，所以平面AA1C1C⊥平面BB1D1D，故C正确; 由题易知，A1−ABD为正四面体，其体积为V0=13⋅34⋅63=212， 所以平行六面体的体积为V=6V0=6×212=22，故D正确， 故选BCD.11.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查曲线与方程，利用方程研究曲线的性质，属于较难题. 对于A，分别以−x代x，以−y代y，即可判断；对于B，令y=0即可判断；对于C，利用余弦定理和基本不等式即可判断；对于D，利用三角形的面积公式即可判断.【解答】 解：设P(x,y)，由|PF1|⋅|PF2|=6，可得(x+2)2+y2⋅(x−2)2+y2=6， 对于A，由曲线方程可知，将−x代替x，方程不变;将−y代替y，方程不变，故A对； 对于B，令y=0，解得|x−2|