江西省五市九校协作体2022-2023学年高三上学期第一次联考数学（理科）试卷

江西省五市九校协作体2023届第一次联考数学（理科）试卷答案一．序号123456789101112答案DBDCDAAAABDD二．填空题13.18214.15.1016.6解答题：17.解（1）数列是递增的等比数列，且，，，，是方程的两个根，解方程，得，，，，．（2）由（1）得：，，数列的前项和：，且对一切成立，，解得，最小正整数为2022．18.（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，由四边形是菱形，，则，是正三角形，，，又平面，所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为，则，，，，，，则设，，所以，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，，得平面的法向量可以为，，解得，所以，则设平面的一个法向量为，则，即，取，得，所以点到平面的距离.19.（1）由频率分步直方图得，得分为17，18的人数分别为6人，12人，所以两人得分之和不大于35分为两人得分均为17分，或两人中1人17分1人18分，所以.（2）又，所以正式测试时，，所以，①所以，所以人；②由正态分布模型，任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为，即，所以，所以，所以的分布列为0123所以.20（1）设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.又，所以而，所以，在四边形中，，所以，在中，根据余弦定理得即化简得.所以椭圆的离心率；。。。。。。5分（2）因为椭圆的上顶点为，所以，所以，又由（1）知，解得，所以椭圆的标准方程为.在中，，，所以，从而，又为线段的中点，即，所以，因此，从而，根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，联立消去得①，，根据韦达定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直线不经过点，所以舍去，于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，所以直线恒过定点，定点坐标为.。。。。。。12分21．(1)；(2)【分析】(1)在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、.研究的单调性和零点情况即可求出a的范围；(2)设，由(1)知且，则，将a=代入要证的不等式，可将不等式化为，令，则不等式化为，问题转化为在(0，1)恒成立即可．(1)函数定义域为，在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、．设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；当时，在上，单调递增；在上，单调递减，∴当时，，函数有两个零点，则必有，即，解得．易证，证明如下：令，，当时，，单调递减，当时，单调递增，故，故，得证．∴，又，∴在和上各有一个零点、，此时：00↓极小值↑极大值↓故在定义域内有两个不同的极值点时，a的范围为；(2)方法1：由(1)可知是的两个零点，不防设，由且，得．∵．令，则，记，，则，令，．又，则，即，∴在上单调递增，故，即成立．∴不等式成立．方法2：欲证，由，，则只需证：．不妨设，则且，则，∴，令，则，记，，由，即在上单调递增，故，即成立.故．【点睛】本题第一问关键是找到x=1和x=，判断，，从而根据零点存在性定理判断在和上各有一个零点；第二问的关键是利用是的两个零点用替换a，再利用换元将双变量转化为单变量进行证明．22．(1)；(2).【分析】（1）求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可；（2）求得曲线的普通方程，结合的直角坐标方程，求得交点的直角坐标，再转化为极坐标即可.【详解】（1）对点，设其直角坐标为，则，即其直角坐标为，故在直角坐标系下的方程为：，由可得：，故的极坐标方程为：.（2）由题可得曲线的普通方程为：，联立，可得，解得或，又，故，则，即曲线C与交点的直角坐标为，设其极坐标为，则，，即曲线C与交点的极坐标为.23、（1）当a＝3时，即为，等价于或或，解得或或，则原不等式的解集为；。。。。。。5分（2）不等式的解集非空等价于有解．由，（当且仅当时取得等号），所以，解得，故a的取值范围是．。。。。。。10分