数学

海淀区2022—2023学年第一学期期末练习高三数学2023.01本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，若（A）（B） （C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点在（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（A） （B） （C）（D）（4）已知，则A. B. C. D.（5）若圆截直线所得弦长为2，则（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2（6）已知为等差数列，，.若数列满足，（=1，2，…），记的前项和为，则（A）－32 （B）－80 （C）－192 （D）－224（7）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是（A）（B） （C） （D）（8）设，是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）已知函数=cos2x在区间上的最大值为，则的最小值为（A） （B） （C） （D）（10）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为450的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）抛物线的焦点坐标为.（12）在的展开式中，的系数为.（13）如图，在正三棱柱中，是棱上一点，，则三棱锥的体积为.（14）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上.则的渐近线方程是；的取值范围是.（15）已知函数，.给出下列四个结论：①当时，函数有最小值；②，使得函数在区间上单调递增;③，使得函数没有最小值；④，使得方程有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下：（Ⅰ）直接写出的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△中，，，，求△的面积.（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点.（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件①：;条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题14分）H地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.（Ⅰ）试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；（Ⅱ）设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.（19）（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）判断0是否为的极小值点，并说明理由；（Ⅱ）证明：.（20）（本小题15分）已知椭圆：过点和.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于不同的两点，，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.（21）（本小题15分）对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为.（Ⅰ）写出所有满足，的数列;（Ⅱ）对所有满足的数列，求的最小值；（Ⅲ）对所有满足的数列，求的最大值.