北京西城区2023年高三上学期期末数学试题及答案

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学2023.1本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。2（1）已知全集U{2,1,0,1,2,3}，集合Ax{|2}Zx≤，则UA（A）{1,0,1}（B）{2,2,3}（C）{2,1,2}（D）{2,0,3}（2）设复数z3i，则复数iz在复平面内对应的点的坐标是（A）(1,3)（B）(1,3)（C）(3,1)（D）(3,1)（3）已知函数fx()lg||x，则fx()（A）是奇函数，且在(0,)上是增函数（B）是奇函数，且在(0,)上是减函数（C）是偶函数，且在(0,)上是增函数（D）是偶函数，且在(0,)上是减函数（4）已知双曲线Cx:322y3，则C的焦点到其渐近线的距离为（A）2（B）3（C）2（D）3北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第1页（共6页）（5）设xy,R，且01xy，则（A）x22y（B）tanxtany1（C）42xy（D）xyy(2)x1（6）在△ABC中，若c4，ba1，cosC，则△ABC的面积是43（A）1（B）4315（C）15（D）4（7）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天024~时的空气质量指10tt290,0≤≤12,数y随时间t变化的趋势由函数y描述，则该天适宜开展56tt24,12≤24户外活动的时长至多为（A）5小时（B）6小时（C）7小时（D）8小时（8）设,均为锐角，则“2”是“sin()sin”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在△ABC中，ACBC1,C90．P为AB边上的动点，则PBPC的取值范围是11（A）[,1]（B）[,1]4811（C）[,2]（D）[,2]48北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第2页（共6页）（10）如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直．1是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，2是正方形CDEF及其内部的点构成的集合．设AB1，给出下列三个结论：①M1,N2，使MN2；②M1,N2，使EMBN；③M1,N2，使EM与BN所成的角为60．其中所有正确结论的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第3页（共6页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。1（11）()x34的展开式中常数项为_______．（用数字作答）x（12）已知抛物线yx24的焦点为F，准线为l．则以点F为圆心，且与直线l相切的圆的方程是_______．（13）已知{}an是等差数列，a15，且aaa2342,4,6成等比数列，则a6_______；{}an的前n项和Sn________．xa,1,x≤（14）设函数fx()若a2，则fx()的单调递增区间是_______；若2ax(2)1,1.xfx()的值域为(,)，则a的取值范围是________．（15）人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有Kxft()0(t0)Logisticmodelr≥学者提出了“”：0t，其中K,,rx00均为KxxK00()e正常数，且Kx0，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：①f(0)x0；②f()t在[0,)上是增函数；③t[0,)，ft()K．其中所有正确结论的序号是_______．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第4页（共6页）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）xx已知函数f(xx)2sin(cos22sin)3cos2x．22（Ⅰ）求fx()的最小正周期；（Ⅱ）若x(0,π)，且fx()1，求x的取值范围．（17）（本小题14分）如图，四边形ABCD为梯形，ABCD//，四边形ADEF为平行四边形．（Ⅰ）求证：CE//平面ABF；（Ⅱ）若AB平面ADEF，AFAD，AFADCD1，AB2，求：（ⅰ）直线AB与平面BCF所成角的正弦值；（ⅱ）点D到平面BCF的距离．（18）（本小题13分）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：12月1月2月3月4月5月轿车28.421.315.426.016.721.0MPV0.80.20.20.30.40.4SUV18.113.711.718.111.314.5（Ⅰ）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；（Ⅱ）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望EX；2（Ⅲ）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为s1，同期各月轿车与222对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为s2，写出s1与s2的大小关系．（结论不要求证明）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第5页（共6页）（19）（本小题15分）yx222如图，已知椭圆Eab:1(0)的一个焦点为F1(0,1)，离心率为．ab222（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点F1作斜率为k的直线交椭圆E于两点A,B，AB的中点为M．设O为原点，射线OM交椭圆E于点C．当△ABC与△ABO的面积相等时，求k的值．（20）（本小题15分）已知函数fx()alnxxexe，其中aR．（Ⅰ）当a0时，求曲线yfx()在点(,11f())处的切线方程；（Ⅱ）当a0时，判断f()x的零点个数，并加以证明；（Ⅲ）当a0时，证明：存在实数m，使fx()≥m恒成立．（21）（本小题15分）||1aa≤已知Aaann:,12,,an(≥4)为有穷数列．若对任意的in{0,1,,1}，都有ii1aa（规定0n），则称An具有性质P．aa设Tijn{(,)||ij|≤≤1,2jinij≤2(,1,2,,n)}．（Ⅰ）判断数列A4:1,0.1,1.2,0.5，A5:1,2,2.5,1.5,2是否具有性质P？若具有性质P，写出对应的集合Tn；（Ⅱ）若A4具有性质P，证明：T4；（Ⅲ）给定正整数n，对所有具有性质P的数列An，求Tn中元素个数的最小值．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第6页（共6页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考2023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）C（4）B（5）D（6）D（7）C（8）C（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）4（12）(1)xy422（13）5nn26（14）(1,2](0,2]（15）①②③（选①②③得5分；只选出其中1个得2分；只选出其中2个得3分）注：（13）（14）题第一空3分，第二空2分；其中（14）题第一空答(1,2)也正确。三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）xx解：（Ⅰ）f(x)2sinx(cos22sin)3cos2x222sinxcosx3cos2x………2分sin2xx3cos2………4分π2sin(2x)．………6分3所以fx()的最小正周期为π．………7分ππ5π（Ⅱ）因为0xπ，所以2x．………8分333π1因为fx()1，所以sin(2x)．………9分32ππ7π所以2x．………11分636π3ππ3π解得x，所以x的取值范围是(,)．………13分124124北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第1页（共6页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）如图，在射线AB上取点P，使APDC．………1分由题设，得APDC//，所以四边形APCD为平行四边形．所以PCAD//且PCAD．………2分又四边形ADEF为平行四边形，所以ADEF//且ADEF．所以PCE//F且PCEF．………3分所以四边形PCEF为平行四边形，所以PF//CE．………4分因为CE平面ABF，PF平面，所以CE//平面．………5分（Ⅱ）（ⅰ）因为AB平面，所以ABADABAF,．又ADAF，所以ABAD,,AF两两相互垂直．………6分如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)．所以BC(,,)110，BF(,,)201，AB(,,)200．………7分mBC0,xy0,设平面BCF的法向量为m(,,)xyz，则即2xz0.mBF0,令x1，则y1，z2．于是m(1,1,2)．………9分设直线与平面所成角为，则||mAB6sin||cosm,AB．………11分|m||AB|66所以直线与平面所成角的正弦值为．6（ⅱ）因为AB//CD，所以直线CD与平面所成角的正弦值为．………12分6所以点D到平面的距离为dCDsin．………14分6北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第2页（共6页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为1x(0.80.20.20.30.40.4)0.38．6故月度零售销量超过x的月份为12月，4月，5月．………2分所以从2021年月至2022年月中任选1个月份，该月零售销量超过的3概率为0.5．………4分6（Ⅱ）从年月至年月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和月．所以X的所有可能取值为0,1,2．………5分C31CC123CC2133，23，23．……8分PX(0)3PX(1)3PX(2)3C510C55C510所以的分布列为X012133P105101366故的数学期望EX012．………10分10510522（Ⅲ）ss12．………13分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第3页（共6页）（19）（共15分）c1,c2解：（Ⅰ）由题设，,………3分a2222abc.解得ab2,1．………4分y2所以椭圆E的方程为x21．………5分2（Ⅱ）直线AB的方程为ykx1．ykx1,由得22．………分22(2kx)2kx10722xy设A(x,y)1122,B(,x)y，2k4则xx，yykxx()2．………9分12k221212k22因为△ABC与△ABO的面积相等，所以点C和点O到直线的距离相等．所以M为线段OC的中点，即四边形OACB为平行四边形．………11分设C(,)x00y，则OCOAOB．………12分2k4所以xxx，yyy．012k22012k2222将上述两式