河南省南阳市2022-2023学年高三上学期1月期末数学（文）试题

2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合，，则（）．A． B． C． D．2．设复数z满足，则复数z的虚部是（）．A．－5 B．5 C． D．3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）．A． B． C． D．4．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（）．A． B． C． D．5．《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对100名在校生30天内在该校食品小卖都消费过的天数进行统计，将所得数据按照、、、、、分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（）．A．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20%B．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32%C．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15D．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间6．，，条件，条件，则条件p是条件q的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．角A等于（）．A． B． C． D．8．已知函数f（x）满足f（x）＋f（－x）=0，f（－x－1）=f（－x＋1），当时，，则（）．A． B． C． D．9．已知，该函数在x=－1时有极值0，则a＋b=（）．A．4 B．7 C．11 D，4或1110．已知函数在上单调递增，且有恒成立，则的值为（）．A． B． C．1 D．211．已知过坐标原点O的直线l交双曲线的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若，则△ABF的面积为（）．A．3 B． C．6 D．12．已知，，，则大小关系正确的为（）．A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，，则向量在向量方向上的投影是______．14．已知函数是偶函数，则______．15，过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且，则直线AB的斜截式方程为______．16．在菱形ABCD中，，AB=2，将△ABD沿BD折起，使得AC=3．則得到的四面体ABCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：得分男性人数22436067533015女性人数12234054512010（1）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解总计男性女性总计（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，附：，其中．临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（本题满分12分）已知数列是各项均为正数的等差数列，是其前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的最大项．19，（本题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PB⊥底面ABCD，PB=AB=AD=BC=1，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：；（2）证明：l平面PAB；（3）求点B到平面PCD的距离．20．（本题满分12分）已知椭圆（a>b>0），离心率为，其左右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，且的最小值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），若，求直线MN的方程．21．（本题满分12分）已知函数．（）（1）当a=1时，求证：；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C的极坐标方程；（2）若点A，B为曲线C上的两个点OA⊥OB，求证：为定值．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知存在，使得，a，．（1）求a＋2b的取值范围；（2）求的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、1—5 ACBAC 6—10 BBDCA 11—12 BA12．，，令，，易证（当且仅当x=1时等号成立）∴，即a>b∴a>b>c二、13．－1 14． 15．或 16．三、17．解：（1）由题意得列联表如下：不太了解比较了解总计男性125165290女性75135210总计200300500计算得因为2.771>2.706，所以有90%的把握认为“居民对垃级分类的了解程度”与“性别”有关；（2）由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人，记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则基本事件分别为（a，c，d）、（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d）（a，c，e），（a，d，e）（b，c，d），（b，c，e）、（b，d，e）、（c，d，e），共10种，抽取的3人恰好是两男一女共有6种，所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是．18．解：（1）当n=1时，，解得：或，因为，故．方法一：因为，所以，又，即可得．方二：当n=2时，，易得：．因为数列是等差数列，故．（2）由（1）知，，故．∵，当n<7时，；当n=7时，；当n>7时，；故数列的最大项为．19，证明：（1）由题意可知，BC平面PAD，AD面PAD，故，平面PAD，又∵BC面PBC且面PBC面PAD=l，∴．（2）因为PB⊥底面ABCD，所以PB⊥BC．又底面ABCD为直角梯形，且，所以AB⊥BC．且，∴BC⊥面PAB，又，∴l⊥面PAB．（3）易求得，，，，．因为，△PDC所以为直角三角形．设B到平面PCD的距离为h，因为，所以，故可得，．20．解：（1）由题意知：，即a=2c且a－c=1，可得：a=2，，c=1．椭圆C：的方程为：．（2）方法一：不妨设直线MN交x轴于Q点，由，易得，，故．设直线MN的方程为x=my＋3，，，显然，，．由得，，∴ ① ②又∵，得 ③，由①②③得，．所以，直线MN的方程为：，即．方法二：延长交椭圆于点P，根据椭圆的对称性可知，，得．设，，．显然，．设直线PM的方程为x=my－1，联立得，，∴ ① ②又∵，得 ③由①②③得，．故，则，因此，直线MN的斜率．不妨设直线MN交x轴于Q点，由，易得，，故，所以，直线MN的方程为：．21．解：（1），故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在上是单调减少的，所以，即．（2）当a=0时，，不存在零点，当a≠0，由f（x）=0得，，．设，则，令，易知h（x）在上是单调减少的，且h（1）=0．故g（x）在（0，1）上是单调增加的，在上是单调减少的．由于，g（1）=1，且当x>1时，g（x）>0，故若函数f（x）有且只有一个零点，则只须或．即当时，函数f（x）有且只有一个零点．22．解：（1）因为，所以面线C的直角坐标方程为．因为，，所以，曲线C的极坐标方程为：．（2）由于OA⊥OB，故可设，，，，所以．即为定值．23．解：（1）由题知：，因为存在，使得，所以只需，即a＋2b的取值范是．（2）方法一：由（1）知，因为a，，不妨设，当时，，当0