大湾区数学参考答案与评分细则(1)

2023届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.题号12345678答案BDCBABCA二、选择题：本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACADBCAC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.113．114．515．16．232四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）解答：由题可得，……分(1)a13,a27,a3112*故an34(n1)4n1(nN).……4分16且，(2)bnan4n1(an1)(an15)161故b……5分n4n(4n415)n(n2)111.……7分2nn21111111111……分Tn18232435n1n1nn231113.……10分42n1n24高一数学参考答案第1页（共9页）18.（12分）解：（１）由条件及正弦定理可得(sinBsinC)cosAsinAcosBsinAcosC0……1分即sinBcosAcosBsinAsinCcosAcosCsinA0故sin(BA)sin(CA)0则有sin(BA)sin(AC)……3分又BA(,),CA(,)故有BAAC，或(BA)(AC)π（舍去），或(BA)(AC)π（舍去）.……5分则BC2A，又ABCπ所以A.……6分3（２）设ACB,在△ABD和△ACD中,由正弦定理可得BDADCDAD,……8分2sin()sin()sinsin()34342BDsin()CDsin()3……9分sin()sin3443sinsin()4……10分2sin()sin()3433sin……11分3131cossin222tan963……12分19．（12分）高一数学参考答案第2页（共9页）解：（１）连接AB1,A1B交于点O,连接OD……2分ABCA1B1C1为三棱柱ABB1A1为平行四边形,点O为AB1的中点又D为B1C1的中点AC1OD……4分平面平面又ODA1BD,AC1A1BD平面AC1A1BD.……6分（2）解法1：CAABCAAA1ABAA1ACA面ABB1A1AB1面ABB1A1，CAAB12222AB1CB1AC2222AB2,AB12,BB122222……7分ABAB1BB1即ABAB1以为坐标原点，分别为建立空间直角坐标系，AAB,AB1,ACx,y,zA(0,0,0),A1(2,2,0),B(2,0,0),B1(0,2,0),C1(2,2,2),D(1,2,1)……8分AA12,2,0A1D1,0,1ABAB1ABACAB1ACA即平面的一个法向量为……9分AB面AB1CAB1Cn11,0,0高一数学参考答案第3页（共9页）AAn02x2y012即设平面的法向量为，则AA1Dn2x,y,zxz0A1Dn20……10分令x1，y1,z1n2(1,1,1)设平面与平面所成夹角为，AB1CAA1Dn1n211010(1)13cos……11分23n1n2111133平面ABC与平面AAD所成夹角的余弦值是.……12分113解法2：设点E为BC的中点,点F为AC的中点,连接DE交B1C于点Q,连接AE,AQ,EF,F设点P为AQ的中点,连接EP,FP.QEP点E为BC的中点,点D为B1C1的中点1EQBB且EQBB=2,点Q为BC的中点1211ACC1A1为矩形，ACAA1平面又ACAB,ABAA1A，ACABB1A1……7分ACAB1在中,,可得△ACB1ACAB1,AC2,B1C22AB12为等腰直角三角形,其中△AB1CACAB12,B1C22而点为的中点，且……8分QB1CAQB1CAQ2点P为AQ的中点,点F为AC的中点高一数学参考答案第4页（共9页）112FPBC且FPCQBC12412FPAQ……9分又在Rt△ABC中,ABAC2,点E为BC的中点AE2在△AEQ中,AEEQAQ2，且点P为AQ的中点6EPAQ且EP2EPF即为平面AB1C与平面AA1D所成的夹角……10分126在△EFP中,EFAB1,FP,EP……11分222EP2FP2EF23cosEPF……12分2EPFP320．（12分）1解：（1）由已知XB(6,)，……2分2所以P(X2)P(X0)P(X1)P(X2)11111161511C0()6C1()5C2()2()4；……5分62622622646464321（2）由已知XB(n,)，所以E(X)0.5n，D(X)0.25n，……7分2X若0.40.6，则0.4nX0.6n，即0.1nX0.5n0.1n，n高一数学参考答案第5页（共9页）即X0.5n0.1n.……8分0.25n由切比雪夫不等式PX0.5n0.1n1，……10分(0.1n)20.25n要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则10.98，(0.1n)2解得n1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250.……12分21．（12分）解：（1）令，A(x1,y1),B(x2,y2)112，，，y2xy2xykPAyy11……2分lPA:yy1(xx1)y1又P(1,2)11……3分lPA:2y1(1x1)y1(1x1)y121y(1x)11……4分2y1262y12x1同理可得.……5分y226，y1y226,x1x22(y1y2)462222.……6分|AB|(x1x2)(y1y2)(46)(26)230（2）令，由条件知.……7分C(x3,y3)y1y2y301ABBCsinABCSABBCAMCN△ABC2(1)(1)……8分S1BMBNBMBN△BMNBMBNsinABC2高一数学参考答案第6页（共9页）yyyyyy131313(1)(1)12y2y2y2y2yyy(yy)y2yy13112112222222y2y2y222yyy191121……10分y2y2y224|AM|y34|AM|3|BM|，1|BM|y243y10……11分4y2y1S9当1时,△ABC取得最大值.……12分y22S△BMN422．（12分）ex1解：（1）证明：（1）f(x)的定义域为(,0)(0,)………1分xx1ex1f(x)，令f(x)0，得：x1，………2分x2当x变化时f(x)，f(x)的关系如下表：x(,0)0(0,1)1(1,)f(x)\0f(x)f(x)在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增.………4分（2）证明：要证ablnab2，只需证：alnbblna2高一数学参考答案第7页（共9页）根据alnbblna，只需证：blna1………6分不妨设ab，由alnbblna得：alnablnb；eaeb两边取指数，ealnaeblnb，化简得：………7分abexeex1令：g(x),则g(a)g(b)，g(x)ef(x),根据（1）得xxg(x)在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增（如下图所示），由于g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，要使g(a)g(b)且ab，则必有0a1,b1，即0a1b由0a1b得：b1,1lna1.………8分要证blna1，只需证：b1lna，由于g(x)在(1,)上单调递增，要证：b1lna,只需证：g(b)g(1lna)，…………9分又g(a)g(b)，只需证：g(a)g(1lna)，…………10分高一数学参考答案第8页（共9页）e只需证：eae1lna，aa1lna1lna只需证：ea1lnae，1lna1只需证：，eea1lna11lna只需证：0，即证ea0，eeae1lnx1lna令(x)ex,(0x1)，(1)0，(a)eaee只需证：(x)0,(0x1)，111exex(x)ex，exexexexex令h(x)exex,h(1)0,h(x)exe0,(0x1)，h(x)在(0,1)上单调递减，所以h(x)h10，exex所以(x)0exex所以(x)在(0,1)上单调递减，所以(x)10所以(a)0所以：ablnab2.……12分高一数学参考答案第9页（共9页）