高三年级数学试题参考答案及评分标准

2022—2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测高三年级数学试题参考答案一、单选题12345678CABCDDBC二、多选题9101112BCACDACDBCD三、填空题13.114.∞15.216.21[2,+)[,]94四、解答题17（.1）由题可知CBAB,2sin-sin=2sincos且CAB，ABBsin=sin(+)∴2cossin-sin=0π又ABC中，，A1,解得A…………………………………………（5分）△sinB≠0∴cos==23（2）由题可知AD1(ABAC)，AD21AB2AC2AB·AC=+∴=(++2)24即|AD|21(|AB|2|AC|2|AB||AC|A)，又AD=++2cos=24|AB|2|AC|2|AB||AC||AB||AC|当且仅当|AB||AC|时等号成立∴++=16≥3,=|AB||AC|16∴≤3S1|AB||AC|43…………………………………………………………（10分）∴=sinA≤2318（.1）由已知得(aa)a，即a，21+2=322=2时，由Sn(n)an，Snnan，两式相减得(n)annan，n≥22=+12-1=-1-1=-1ananaaan则-122，又1，于是为常数列.得ann…………（6分）n=n=⋅⋅⋅===1=1{n}=-1221ann注：也可以利用等比型递推关系，用累乘法求通项公式，请酌情赋分.an=n(n≥2)-1-1高三年级数学试题参考答案第1页（共5页）[n(n)]n(n)n(n)（2）bnsin1sin--1sin⋅cos-1-cos⋅sin-1n∵=n(n)=n(n)=n(n)=tan-coscos-1coscos-1coscos-1(n)(n)n，tan-1=-tan-1+tanTn()()()[(n)n]∴=-tan0+tan1+-tan1+tan2+-tan2+tan3+⋯+-tan-1+tann……………………………………………………………………………………（12分）=tan19.（1）零假设为H疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异0:2根据列联表中数据，经过计算得到χ2136×(15×63-52×6)x=≈4.882<7.879=0.00567×69×21×115根据小概率值α的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，因此可以认为H成=0.00500立，即认为两种疗法效果没有差异………………………………………………………（4分）（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为X，则X~B14，所以EX1414，11(3,)(1)=3×=15155设A组的积分为X，则XX，所以EXEX28，…………………（7分）22=21(2)=2(1)==5.65设B组中服用乙种中药康复的人数为Y，则Y的可能取值为：0，1，2，3，11PY1111，(1=0)=××=2010102000PY19111C11937，(1=1)=××+×2××=2010102010102000PYC11991199423，(1=2)=2×××+××=2010102010102000PY19991539，(1=3)=××=2010102000故Y的分布列为：1Y10123P13742315392000200020002000所以EY137423153911，(1)=0×+1×+2×+3×=20002000200020004设B组的积分为Y，则YY，所以EYEYEY11，………（11分）22=21(2)=(21)=2(1)==5.52因为，所以甲种联合治疗方案更好…………………………………………（12分）5.6>5.5高三年级数学试题参考答案第2页（共5页）20（.1）证明：因为ADCF，面BCFE，面BCFE，∥CF⊂AD⊄所以AD面BCFE.∥又因为面ABED，面ABED面BCFEBE，AD⊂⋂=所以ADBE………………………………………………………………………………（4分）∥（2）条件，结论①②③由条件易知四边形ACFD是平行四边形，故CAFD，∥因为FDBE，所以CABE，又CADE，⊥⊥⊥BEDEE，所以CA面ABED，而面⋂=⊥CA⊂ACFD，故平面ABED平面ACFD.⊥条件，结论①③②证明：由条件易知四边形ACFD是平行四边形，故CAFD.∥由FDBE，ADBE可得FDAD.⊥∥⊥因为面ABED面ACFD，面ABED面第题图⊥⋂20ACFDAD，面ACFD=FD⊂所以FD面ABED.⊥而面ABED，CAFD，故CADE…………………………………………………（8分）ED⊂∥⊥下面求平面EAC和平面PBD夹角的余弦值：πCFE中，由余弦定理可得CE2CF2EF2CFEF，故CE.△=+-2⋅⋅cos=12=233又由CA，CAAE，得AE.=22⊥=2由EF，FD，FDDE，得DE.=4=22⊥=22因为AD2AE2DE2，所以DAAE.+=⊥以A为原点，AD，AE，AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.A，B)，C.易知m是平面ACE的一个法向量.(0,0,0)(-4,2,0(0,0,22)=(1,0,0)设nxyz是平面ABC的一个法向量=(,,)高三年级数学试题参考答案第3页（共5页）xy由nAB，得-4+2=0，取x，得y，故n{n⋅AC=0{z=1=2=(1,2,0)⋅=022=0|mn||mn|⋅15cos<,>=|m||n|==⋅55故平面EAC和平面PBD夹角的余弦值是5………………………………………（12分）5p21.解：（1）当直线l的倾斜角为时，设直线l的方程为yx，60°=3(-)2ìy2pxï=2联立方程íp得：x2px3p2，ïyx3-5+=0î=3(-)42ppxx5，|AB|xxp816，∴1+2==1+2+==333p，抛物线C的方程为y2x…………………………………………………（4分）∴=2∴=4（2）设直线l的方程为xmy，AxyBxy,-1=(1,1),(2,2)y2x联立方程=4得：y2my，{xmy-4-4=0=+1yyyymyy，xxmyym2xx12，∴1+2=4,12=-41+2=(1+2)+2=4+2,12==116则以AB为直径的圆的方程为：xxxxyyyy，(-1)(-2)+(-1)(-2)=0即：x2xxxxxy2yyyyy，-(1+2)+12+-(1+2)+12=0代入得：x2m2xy2my，-(4+2)+-4-3=0过焦点F且垂直于l的直线为：ymx，=-(-1)x2m2xy2my联立方程-(4+2)+-4-3=0得：m2x2m2xm2{ymx(+1)-2(+1)-3(+1)=0=-(-1)即：x2x，解得：x或，-2-3=0=-13所以过焦点F且垂直于l的直线与以AB为直径的圆的交点分别在定直线x和x上.=-1=3……………………………………………………………………………………………（12分）x222.（1）当a时，令φxfxgxex(x),=1()=()-()=--1-ln+14xφ′xex1,φ′′xex11，()=--x()=-+x22+12(+1)高三年级数学试题参考答案第4页（共5页）当时，ex，当x时，1，φ′′xx≥0≥1-1<<0x2>1∴()>0(+1)得φ′x在(∞)内单调递增，由φ′，()-1,+(0)=0得当x时，φ′x，φx在()内单调递减，-1<<0()<0()-1,0当x时，φ′x，φx在(∞)内单调递增，>0()>0()0,+φxφ，即fxx……………………………………………………（5分）∴()≥(0)=0()≥g()x2（2）hxfxgxexa(x)，()=()-()=--1-ln+14当时，由x，得(x)，(x)(x)，a≤1>0ln+1>0∴ln+1≥aln+1由（1）可得hxφxφ；()≥()>(0)=0xaa当a时h′xex，h′′xex1，>1()=--x()=-+x22+12(+1)由x得h′′x，h′x在(∞)内单调递增>0()>0∴()0,+aaaaa由h′a，h′aeaa1(0)=1-<0()=--a>+1--a=+a>02+12+12+1xa，使得h′x，∴∃0∈(0,)(0)=0则当xx时，h′x，hx在(x)内单调递减，0<<0()<0()0,0当xx时，h′x，hx在(x∞)内单调递增，0<()>0()0,+由h得hx，(0)=0(0)<0ahae2a2a(a)a2a2a2a2，(2)=--1-ln2+1>4--1-2=-1>0xa，使得hx，∴∃0∈(0,2)(0)=0综上，当时hx在(∞)内无零点；a≤1()0,+当a时hx在(∞)内有一个零点；……………………………………………（12分）>1()0,+高三年级数学试题参考答案第5页（共5页）