湖北省十堰市2025年高三年级元月调研考试数学答案

十堰市#$#%年高三年级元月调研考试数学参考答案#(#!!&!'!#!(##$'#()$!%$$'#$$'#$$#%$则%$'#$$!%!!#!#!*!选项*对应的双曲线焦点在%轴上且渐近线方程为%'+#!#'&'&'&'&'&'&'&'&'&'&,!-!&'$.$&'$.,$''$.,#'($&','(#$!!,,!!槡%/!&!012(.!'(340!'($则340!'$又340!'!(#012#$所以012'+!##&%%##%,%!-!显然#$!$当#'!时$#$#.!$##$##分别为!$#$!$#$则中位数为$不符合题意!#,##当$(#(!时$##(#(##(#.!$则'!$解得#'!#,5!&!设正三棱锥()$'的底面中心为*$外接球的球心为+$显然球心+在直线(*上!设正三棱锥()$'的高为,$外接球的半径为-$由$'槡,$可得正槡,,槡,!,槡,槡5三角形$'的面积为6#槡,&#'$所以6,'$解得,'//,//#槡#!球心+到底面$'的距离为+*',(-$*'&'!$由,,-#'+*#.*#$得-#'#槡#(-&#.!#$-'$所以外接球的表面#槡#7!积为/!-#'!#!/''&&1)'!-!记)$'的内角$$$'的对边分别为.$/$0$因为''$&1$'&!).''&012*$'&#'#$所以.'/!由余弦定理可知0#'.#./#(#./340*'$$得.#./#(0#../'$$!,槡,又0',$所以.'/'槡,$则)$'的面积为./012*'$'!#/!9!作出函数2##&的图象$如图(!高三数学参考答案!第!!页#共页$%!#!$%&书!!!由图可知$2#.&'2#/&'2#0&+#$$!&$即(0./+#$$!&$得,(0(/$即+$$由0#/,&./!!#2#.&'2#/&$即'$得./(,.../(,/'$$所以.'!.(,/(,./,!!!!!故..的取值范围为$!./0#!#&7!9*!设3'../1#.$/+!$/,$&$由3#'3$可得.#(/#.#./1'.(/1$##.(/'.$!槡,!槡,!所以解得.'($/'+$则3'(+1$所以3的实部为($3的虚部!#./'(/$#####槡,为+$3'!$3不可能为纯虚数$故选9*!#!$!-*!由题可得24##&'###(##&5.5####(##&5(!###(#&'###(##&5(!')##5.!&##(##5.#&#%!当5为奇数时$###(##&5(!#$$令6##&'##5.!&##(##5.#&#$6#$&'$$6##&,$$#5.##5.#且当#+#()$$&时$24##&-$$当#+$$时$24##&($$当#+$.)##5.!&##5.!&时$24##&-$$所以#'$是2##&的极大值点$-正确*当5为偶数时$24##&'###(##&5(!')##5.!&##(##5.#&#%'#5##(#&5(!)##5.#5.##5.#!&#(##5.#&%$#5#$$当#+()$时$24##&-$$当#+$#时$24##&##5.!&##5.!&($$当#+##$.)&时$24##&-$$所以#'#是2##&的极小值点$*正确!故选-*!!!!9-&!若点##$%&在曲线7上$则点#(#$(%&$#%$#&都满足曲线7的方程$所以曲线7关于原点对称$且关于直线%'#对称$9选项正确*易知曲线7关于原点对称$令点##$%&在曲线7上$且该点在第一象限$则,##.,%#(##%##.%#,##.,%#(##.%#'$因为#%$$所以$$解得##.%#$/$当且仅当#'%时$###等号成立$所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过#$-选项正确*由曲线7的对称性可知$当*##$%&位于第二象限时$,%(#取得最大值$所以,##.,%#.##%'$令8',%(#$将#',%(8代入,##.,%#.##%'$可得,5%#(#$8%.,8#('$$故'##$8&#(/6,56#,8#(&#$$解得8#$,5$即,%(#的最大值为5$*选项错误*由题可知$$两点关于原点对称$不妨设##$%&且位于第一象限$则$#(#$(%&$,####%!/.,%#(##%'$则('槡##(!&#.#%(!&#'.(###.%&$($'槡,,##%!//#%#槡#(#(!&#.#(%(!&#'..###.%&$#(.($&#'..槡,,,,!高三数学参考答案!第!#页#共页$%!#!$%&##%!/#/#%#/##%#/$!$$/#%##.(/##.%&#'..#(#%.'..槡#,,&,,槡777,,##%!$#/#%##$/#%#('..('!5$所以(.($'/$为定值$&选项正确!槡#,,&,,,,!#!,!因为6#,&'!$所以2#,&.#'!$即2#,&'(!$因为2##&是奇函数$所以2#(,&'!$故6#(,&'2#(,&.#',!!!!!#!!#!!,!!$!因为#+$$所以##.+.$.$)/,%5)/5,5%!!!!#!!#!又2##&在$上单调递减$设8'##.$所以%'0128在.$.上单调)/,%5)/5,5%/!#!!.#.#9!$//.59#!$/5#/递减$所以.9+$解得.9$#$/.59$所以./解得!#!,!,/.59#.9$.$.#9!$0,0,5#!//#($9$!当9'$时$#+$/$当9'!时$#+$!$$故#的最大值为!$!#,),%),%!/!!8/!考虑出现子序列!##!时$可能出现的位置有5个$依次对应的序列放入集合!$#$+$5中#!##!:::::$:!##!::::$::!##!:::$+$:::::!##!&$记;为%集合;中元素的个数$则;'#',##;'!$#$,$+$5&$再考虑重复的序列$;%;.!#'$#;'!$#$,$+$%&$;%;.#'$#;'!$#$,$/&$;%;.,'#'/#;'!$#$,&$;!%;./'#'##;'!$#&$!%5'#$任意多于#个集合的交集均为空集$所以含有连续子序列!##!的数学序列有56,#(,6/(#6#(#'!8/个!!%!解(#!&零假设为<$(市民是否喜欢骑,共享单车-与城市的拥堵情况无关联!##!$$6#/$6,$(#$6!$&%$根据列联表中的数据$得$''1!5!558-!$!#'#$!$$!!%$6%$65$6/$,+++++++++++++++++++++++++++++++++++/分根据小概率值!'$!$$!的独立性检验$我们推断<$不成立$即认为市民是否喜欢骑,共享单车-与城市的拥堵情况有关联$此推断犯错误的概率不大于$!$$!!+++++++++++++++++++++++++++++++++5分##&根据分层随机抽样的知识可知$随机抽取的5人中喜欢骑,共享单车-的有/人$不喜欢骑,共享单车-的有#人$++++++++++++++++++++++++++8分所以随机变量:的所有可能取值为$$!$#$++++++++++++++++++分$#!!#$*/*#!*/*#*/*##(#:'$&'#'$(#:'!&'#'$(#:'#&'#'$*5!%*5!%*5%!高三数学参考答案!第!,页#共页$%!#!$%&所以:的分布列为:$!#!#(!%!%%++++++++++++++++++++++++++++++++++++!!分!#/所以7#:&'$6.!6.#6'!++++++++++++++++++!,分!%!%%,!5!解法一(#!&因为在直四棱柱$'&)!$!'!&!中$底面$'&是边长为#的正方形$所以以&为原点$&$&'$&&!所在直线分别为#$%$3轴$建立如图所示的空间直角坐标系$则##$$$$&$$##$#$$&$7##$$$/&$=#$$#$#&$'&'&'&所以$'#$$#$$&$$7'#$$(#$/&$7='#(#$#$(#&!++++++++++++#分'&/!'$7'(#%./3'$$设平面的法向量为#$$&$则令$则$7=!'#%3.'&#'!!'0!'7='(##.#%(#3'$$#!$#$!&$++++++++++++++++++++++++++++++++/分易知'#$$$$!&是平面$'&的一个法向量$++++++++++++++++5分!'!槡5所以340.!$/'''$即平面$7=与平面$'&夹角的余弦值!槡56!5槡5为!++++++++++++++++++++++++++++++++++分5'&##&由#!&可得+#!$!$5&$$!##$#$5&$$$!'#$$$$5&$假设存在满足条件'&的点>$设>##$#$8&$所以+>'#!$!$8(5&$+++++++++!$分'&因为+>2平面$7=$所以!'+>'!.#.8(5'$$解得8',!++++++++++++++++++++++++++++++!,分$>!故当'时$+>2平面$7=!++++++++++++++!%分$$!#解法二(#!&延长7=$'$相交于点<$连接$<$过'作$<的垂线$垂足为?$连接=?!因为'=3平面$'&$所以*=?'为平面$7=与平面$'&的夹角!++++++++++++++++++++++++++#分'<='因为72'=$所以'$则'<'#槡#!++++++++,分<7在)$'<中$$<'槡'$#.'<#(#'$''<340*$'<'#槡%$+++++++++++++++++++++++++++/分!高三数学参考答案!第!/页#共页$%!#!$%&!!#因为1)$'<''$''<012*$'<'$<''?$所以'?'$++++++++%分##槡%='槡5所以:;2*=?'''槡%$故340*=?''$即平面$7=与平面$'&夹角的余弦值为'?5槡5!+++++++++++++++++++++++++++++++++++分5$>!##&当'时$+>2平面$7=!+++++++++++++++++++++!$分$$!#证明过程如下(连接!'!$取@为7=的中点$连接+@$@$!因为+为!'!的中点$所#./以+@为梯形!7='!的中位线$即+@2'!=$且+@'',$+++++++!!分#因为$$!2''!$且>$',$所以+@2$>$+@'$>$所以+@$>为平行四边形$所以+>2@$!+++++++++++++++++!,分因为+>4平面$7=$@$5平面$7=$所以+>2平面$7=!+++++++++!%分.A.!(!.A.#(!!8!解(#!&#解法一&由1A'$可得1A.!'$+++++++++++++!分##.A.#(.A.!两式相减可得.A.!'$.A.#',.A.!$即数列!.A的公比为,!++++++,分#.#(!,.!(!当A'!时$1!'$则.!'$解得.!'!$++++++++++++++%分##A(!A(!所以.A'!6,',!+++++++++++++++++++++++++8分#解法二&设数列!.A的公比为B!当A'!时$.#(!'#1!'#.!$即.!B(!'#.!$++++++++++++++++#分#当A'#时$.,(!'#1#$即.!B(!'##.!..!B&$++++++++++++++/分解得.!'!$B',$+++++++++++++++++++++++++++++%分A(!A(!所以.A'.!B',!++++++++++++++++++++++++++8分A(!##&/A'##A(!&.A'##A(!&',$#A(!CA'!.,6,.,6%.+.,'##A(!&$#,A,CA',6!.,6,.,6%.+.,'##A(!&$#A(!A则CA(,CA'(#CA'!.#6#,.,.+.,&(,'##A(!&$A,(,AAA即(#CA'!.#6(,'##A(!&'!.,(,(,'##A(!&$!(,A解得CA'!.,'#A(!&!++++++++++++++++++++++++!$分A.!AA',由CA.!(!$/'%$可得%#!/