2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准数学 一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分在每小题给出的四个选项中,只有一项8540.是符合题目要求的)题号12345678答案BCCABABD.【解析】f(x)2ωxωxωx(ωxπ),8D =2cos+2sincos=2sin2++14令f(x),得(ωxπ)2.=0sin2+=-42x[,],ωxπ[π,ωπ].∵∈02π∴2+∈4π+444令tωxπ,由yt的图象得:=2+=sin4πωππ,4π-≤4π+<5π+444化简得7ω5.≤<84二、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的选项中,有多项符合题3618目要求.全部选对的得分,部分选对的得部分分,有选错的得分)60题号91011答案BCABDACD.解析:选项正确;10ABD A对于选项,,,设M(m2,m),BCD44当m时,t;=0=1年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2025 17{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}MFm2当m时,t4+11===≠0MA(m2)2(m)2(m)24+1+441+(m2)24+11112,=≥==1616221+1+m21216+816+m2+8当且仅当m1时,等号成立.=±2故正确;Bm2m因为M(m2,m)到直线yx的距离d4-4+3,44=+3=2当m1时,d.故错误;=min=2≠2C2m2m由M→NN→F得N4+2,4,=2()33当m时,k;=0ON=0mm当m时,kON44||442,≠0=m2≤m2=≤=4+24+2m2m·224||+m24||m||||当且仅当m2时,等号成立.=2故正确.D.解析:对于选项,当a1时,xR,11ACD A=-∈2()()()fxfxx1x1x1x1∵-+=-+sin--++sin-+2+2ex1e1ex11x1,=x-sin-+x+sin-=01+e2e+12故f(x)是奇函数,故正确;A对于选项()()()不恒成立,fx1xxa1xxafx,Bπ-=π-+sinπ-+=π-+sin+=e+1e+1故错误;B对于选项当时()故正确,a,fxx1x,f3π1,;C=0=+sin()=3π-1<0Ce+122e+1对于选项,由f(x),得a1x,D>0--πDe+1e+1三、填空题(本大题共小题,每小题分,共分)3515...122 1396 1458-2AABB.解析:如图(一),AMA13,BMB13.1458-2 ∵tan∠1=MA=MAtan∠1=MB=MB又AMABMB,MBMA.tan∠1=2tan∠1∴=2图一图二() ()如图(二),建立平面直角坐标系,则A(,),B(,),D(,),设点M(x,y).003003(x)2y2x2y2,化简得:(x)2y2(x,y).-3+=2++1+=4≥0≥0则圆心为P(,),r,点D(,)关于BC的对称点D′(,).-10=20363(MNND)()22.∴+min=6+1+3-2=58-2四、解答题(本大题共小题,共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)577.分解:B2A2CBC15(13)(1)∵cos2+2sin-2sin=1-2sinsin,2B2A2CBC.∴1-2sin+2sin-2sin=1-2sinsin即2B2C2ABC.分sin+sin-sin=sinsin………………………………………………………3由正弦定理得b2c2a2bc:+-=,b2c2a2A+-1∴cos=bc=,22A.∵∈(0,π)Aπ.分∴=…………………………………………………………………………………63易知CAB5π分(2)=π-(+)=,……………………………………………………………812BπBACπADCBADBBAD∵=,∠=,∠=2∠=+∠,43年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2025 37{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}BADBπ∴∠==,4ADCπBDAD.分∴∠=,=…………………………………………………………………102BDADC5πππ.∴CD=CD=tan=tan=tan(+)=2+31264BD的值为.分∴CD2+3……………………………………………………………………13.分解:由题意知f′xf′x分16(15)(1),()=(1)e-1,…………………………………………2令x则f′f′f′1.分=1,(1)=(1)e-1,∴(1)=…………………………………………4xe-1故fxexf2-e.()=--1,(1)=e-1e-1x所求切线方程为y2-e1x即y.分∴:-=(-1),=-1………………………………6e-1xe-1e-1axxaxgx-e11x(2)∵()=e(e-1)·+x=e+x(≠0),e-1当x时gx故函数ygx没有零点分>0,()>0,=();………………………………………8x当x时令gx得aln(-).分<0,()=0,=x…………………………………………………9-t令tx则alnt.=-,=t,>0tt令htlnth′t1-ln.()=t(>0),∴()=t2令h′t得t.()=0,=e当t时h′tht单调递增当t时h′tht单调递减.∈(0,e),()>0,();∈(e,+∞),()<0,()hth1.∴()max=(e)=e当t时ht当t时ht0<<1,()<0;=1,()=0;当t时ht1当t时ht且ht.分1<≤e,0<()≤;→+∞,()>0()→0………………………12e故函数ygx有两个零点时直线ya与函数yht的图象有两个交点=(),==(),实数a的取值范围为1.分∴(0,)………………………………………………………15e.分证明:DCBCDCB°AD17(15)(1)∵==2,∠=90,=2,BDAD.∴==2又DAB°∠=45,ABD°ADB°∴∠=45,∴∠=90,ADBD.分∴⊥………………………………………………………………………………3年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2025 47{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}证明:在直四棱柱ABCDABCD中DD平面ABCD(2)-1111,1⊥,DADBDD两两垂直以D为原点DADBDD∴,,1,,,,1所在直线分别为x轴y轴z轴建立如图所示的空、、,间直角坐标系设DDh则DB,1=,(0,0,0),(0,2,0),ChEFDh.1(-1,1,),(1,0,0),(1,1,0),1(0,0,)D→BDC→hE→F=(0,2,0),1=(-1,1,),=(0,1,0),ED→h.分1=(-1,0,)………………………………5设nxyz为平面BDC的一个法向量1=(1,1,1)1,nD→By1·=21=0,∴{nDC→xyhz.1·1=-1+1+1=0令xh得znh.分1=,1=1,∴1=(,0,1)……………………………………………………7同理可得平面EFD的一个法向量nh.分,12=(,0,1)……………………………………8nn平面BDC平面EFD.分∵1∥2,∴1∥1……………………………………………………9当CC时n为平面BDC的一个法向量(3)1=2,1=(2,0,1)1,设F→PλFD→λλλλλ=1=(-1,-1,2)=(-,-,2)(∈[0,1]),PλλλAA→Pλλλ.分∴(1-,1-,2),∵1(2,0,2),∴1=(-1-,1-,2-2)…………………11设直线AP与平面BDC所成角为θ11,λλθA→Pn2(-1-)+2-2=11=sincos〈,〉22λ2λ2λ22+1(-1-)+(1-)+(2-2)45454326===λ2λ2≤,56-8+6λ21052556(-)+33当且仅当λ2时等号成立.分=,…………………………………………………………143所以直线AP与平面BDC所成角的正弦值的最大值为26.分,11……………………155.分解:设双曲线的方程为x2y2λλ18(17)(1)-=(≠0),将点A代入得22λ即λ(4,2)4-2=,=12,x2y2双曲线C的方程为.分∴-=1………………………………………………………31212当直线DG的斜率不为零时设直线DG的方程为xmyFxyGxy(2),=+2,(1,1),(2,2),Exy.(1,-1)ìx2y2ï由í-=1,消去x整理得m2y2my分ï1212(-1)+4-8=0,……………………………………4îxmy=+2,依题意得m2且Δm2m2即m22且m2:-1≠0,=16+32(-1)>0,>≠1,3年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2025 57{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}myy4yy-8.1+2=-m2,12=m2-1-1yy易知直线EG的斜率存在设直线EG的方程为yy2+1xx.分,,+1=xx(-1)………………62-1令y得=0,xxyxyxymyymyyx(2-1)1x21+12(2+2)1+(1+2)2=yy+1=yy=yy1+21+21+2m8myyyymyy2×(-m2)212+2(1+2)212-1.=yy=yy+2=m+2=61+21+24-m2-1直线EG过定点.分∴(6,0)………………………………………………………………9当直线DG的斜率为时直线EG的方程为y过点0,=0,(6,0),综上直线EG过定点.分,(6,0)…………………………………………………………10考虑以y为圆心的子圆Ωx2yy2r2r(3)(0,0)“”0:+(-0)=0(0>0),由Ω的方程与C的方程消去x得关于y的二次方程y2yyy2r2.0,2-20+0+12-0=0依题意该方程的判别式Δy2y2r2y2r2.分,=40-8(0+12-0)=0,∴0=20-24……………12对于外切于点R的两个子圆ΩΩ显然点R在y轴上“”1,2,,设RhΩΩ的半径分别为rr(0,),1,21,2,不妨设ΩΩ的圆心分别为hrhr.1,2(0,+1),(0,-2)则hr2r2hr2r2.(+1)=21-24,(-2)=22-24两式相减得hrrr2r2:2(1+2)=1-2,rr而rrh1-2.分1+2>0,∴=………………………………142rr21-2rr2整理得()1∴+1=2-24,:2r2r2rr.分1+2-612+96=0…………………………………15drr点B∵=1+2,(23,0),rr2RB2h21-21r2r2rr∴=+12=()+12=(21+22-412+96)281rr2r2r2rr1d2.=[(1+2)+1+2-612+96]=88RB2RB1故2.分∴d2=,d=……………………………………………………………1784.分解:Sa2n19(17)∵2n=n+, ①当n时aa2即a2a.∴=1,21=1+1,(1-1)=0,∴1=1当n时Sna2nn≥2,2-1=-1+(-1), ②年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2025 67{#{QQABDYQEg