湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学答案

高三数学限时训练时限：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合Ax1x1，Bxa1x2a1，若BA，则实数a取值范围是（）A．a1B．a1C．0a1D．0a1【答案】A*2．已知m,,,npqN，且数列an是等比数列，则“amanapaq”是“mnpq”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B23．设函数fxmxmx1，命题“x1,3,fxm2”是假．命题，则实数m的取值范围为（）33A．,B．,3C．,D．3,77【答案】D12134．a0,b0,1，则的最小值为（）aba1b2A．3B．23C．6D．6【答案】C5．阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点Px0,,y0z0且一个法向量为nabc,,的平面的方程为axx0byy0czz00，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面x3y70与4y2z10的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（）A．(3,1,2)B．(3,1,2)C．(2,1,3)D．(2,1,3)【答案】B26．已知函数fx3x32，且fa2f3a42，则实数a的取值范围是（）ex1A．4,1B．,14,C．,41,D．1,4【答案】C高三年级数学试题第1页共4页7．设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P，点P到直线x3y90的距离为d，则d的取值范围为()A．[0,10)B．[0,10]C．[0,210)D．[0,210]【答案】A2228．在ABC中，abc23absinC，则ABC的形状是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】D222【详解】在ABC中，abc23abCsin，又由余弦定理知，b2a2c22abcosC，两式相加得：2(ab22)2ab(3sinCcosC)4abCsin()，6a2b22absin(C)1（当且仅当cb时取“”)，又sin(C)1，62ab2ab6sin(C)1（当且仅当ab时成立），C为ABC的内角，6C，C，又ab，623ABC的形状为等边△．故选：D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（）A．在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体nˆ2(yiyi)2i1B．决定系数R1n，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好2yiyi1C．样本相关系数r[1,1]，当r0时，表明成对样本数据间没有相关关系D．经验回归方程y3x1相对于点2,6.5的残差为－0.5【答案】ABD10．声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是yAsint.其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声高三年级数学试题第2页共4页111音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是yxsinsin2xsin3xsin4x，某声23411音函数fx()sinxsin2xsin3x，下列说法正确的是（）23ππA．函数f(x)在区间,单调递增66B．函数f(x)的最小正周期为2πC．函数f(x)的声音比纯音gx()sin2x的尖锐D．函数f(x)的响度比纯音gx()sin2x的响度大【答案】ABDππ【详解】选项A：当x,时，sinx,sin2x,sin3x均单调递增，66ππ11则当x,时，fx()sinxsin2xsin3x单调递增.判断正确；66232π选项B：ysinxy,sin2,xysin3x的最小正周期分别为2π,π,，3则函数f(x)的最小正周期为2π.判断正确；1选项C：函数f(x)的周期为2π，频率为；2π111函数g(x)的周期为π，频率为，由，π2ππ可得函数f(x)的声音比纯音gx()sin2x的低沉.判断错误；选项D：gx()sin2x的振幅为1，ππ1π1π3333f()sinsin2sin31，332333244则函数f(x)的振幅大于g(x)的振幅，则函数f(x)的响度比纯音gx()sin2x的响度大.判断正确.故选：ABD11．如图，在直四棱柱ABCDABCD1111中，底面ABCD为菱形，BAD60,ABAA12,P为CC1的中点，点Q满足DQDCDD10,1,0,1，则下列结论正确的是（）高三年级数学试题第3页共4页1A．若，则四面体ABPQ的体积为定值31B．若AQ15，则点Q的轨迹为一段圆弧△C．若ABQ1的外心为O，则AB1AO1为定值21D．若1且，则存在点EAB，使得AEEQ的最小值为219210【答案】ABD11【详解】A选项，在CD,DD上分别取F,W，使得DFDC，DWDD，1331因为DQDCDD1，所以DQ3DF3DW，1因为，所以331，即DQ3DF13DW，3故DQDW3DF3DW，即WQ3WF，所以W,,QF三点共线，因为WF//CD1，AB1//CD1，所以WF//AB1，故WF//平面PA1B，故点Q为平面PA1B的距离为定值，又S为定值，故四面体ABPQ的体积为定值，正确；PA1B1AB选项，取AB的中点R，因为底面ABCD为菱形，BAD60，故DR⊥DC，xyz,,以D为坐标原点，以DR，DC,DD1分别为轴，建立空间直角坐标系，故A3,1,2，设Q0,2,2，则22，1AQ132122522化简得21222，点Q满足DQDCDD10,1,0,1，即点Q在正方形CDD1C1内，包括边界，故Q点的轨迹为以S1,2为圆心，2为半径的圆，落在正方形CDD1C1内的部分，高三年级数学试题第4页共4页如图所示：因为SH2，SD11，故DH1211，π故SDH为等腰直角三角形，S，14π2π故点Q的轨迹长度为2，B正确；44C选项，取AB1的中点T，因为△A1BQ的外心为O，所以OT⊥AB1，22ABAOABAT2224又题意得AB1AA1AB22，则1111，C错误；11D选项，若1且，DQDCDD，2211即DQ0,2,00,0,20,2,1，即Q0,2,1，2又A13,1,2，B3,1,0，设Ex1,,yz11，设EBaA1B0,2a,2a,a0,1，即3x1,1y1,z10,2a,2a，E3,12a,2a2222解得x13,y112a,z12a，即，AEEQ22a4a32a112a22211258a8a48a522aa，248如图所示，1101设KJ,,GVJG，且KJ⊥JG，JG⊥GV，2421在线段JG上取一点L，设GLa，则LJa，221125故KLVLaa，248显然，直接连接KV，此时KLVL取得最小值，最小值即为KV，21101910由勾股定理得KV，2448421125910故AEEQ22aa的最小值为229210，D正确.24884故选：ABD高三年级数学试题第5页共4页三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知a1,2，bx,4，若a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是．【答案】,22,8x2y213．设A为双曲线Γ:1a0,b0的一个实轴顶点，B,C为Γ的渐近线上的两点，满足a2b2BC4AC，ACa，则Γ的渐近线方程是．【答案】2xy014．一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有X，X为奇数放回地取球2n次nN*，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，Y，0，X为偶数则X的数学期望为（用n表示），Y的数学期望为（用n表示）．2nnn【答案】3332n12n【详解】由题知XB2n,,Y0,1,0,3,0,2n1,0，则EX3312n132n32n111123122n112EY1C2n3C2n21Cn2n3333331C122n13C322n32n1C2n12132n2n2n2nkk12n02n122n32n21kC2n2nC2n1,EY2nC2n12C2n12C2n12，321n0211n22n223n221n210n(21)C2n12C2n12C2n12C2n12C2n12，21n0211n22n223n221n210n(21)CCC2n122n122n12C2n12C2n12，32n112n32n11nnC022n1C222n3C2n221,EY.2n12n12n1232n2332nnn故答案为：.332n四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数fxx3ax2bxa2(a,bR)（1）若函数fx在x1处有极值为10，求b的值；高三年级数学试题第6页共4页（2）对任意a[1,)，fx在区间0,2单调递增，求b的最小值；16【答案】（1）b＝－11（2）3【详解】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f132ab0于是，根据题设有{，f11aba210a4a3解得{或{.b11b3a4当{时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；b11a3当{时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．b3所以b＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立，所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立．因为x>0，所以F(a)在a∈[－1，＋∞)上为单调递增函数2F(a)min＝F(－1)＝－2x＋3x＋b≥0，2即b≥(－3x＋2x)max对任意x∈(